Question

在平面直角坐標系xOy中，點P是拋物線：y=x²上的動點（點在第一象限內）．連接 OP，過點0作OP的垂線交拋物線于另一點Q．連接PQ，交y軸于點M．作PA丄x軸于點A，QB丄x軸于點B．設點P的橫坐標為m．
（1）如圖1，當m=時，
①求線段OP的長和tan∠POM的值；
②在y軸上找一點C，使△OCQ是以OQ為腰的等腰三角形，求點C的坐標；
（2）如圖2，連接AM、BM，分別與OP、OQ相交于點D、E．
①用含m的代數式表示點Q的坐標；
②求證：四邊形ODME是矩形．

Answer 1

解：（1）①∵把x=代入 y=x²，得 y=2，
∴P（，2），
∴OP=
∵PA丄x軸，
∴PA∥MO．
∴tan∠P0M=tan∠0PA==．
②設 Q（n，n²），
∵tan∠QOB=tan∠POM，
∴．
∴n=
∴Q（，），
∴OQ=．
當OQ=OC時，則C₁（0，），C₂（0，）；
當OQ=CQ時，則C₃（0，1）；
當CQ=CO時，OQ為底，不合題意．
綜上所述，當△OCQ是以OQ為腰的等腰三角形時，所求點C坐標為：C₁（0，），C₂（0，），C₃（0，1）；

（2）①設 Q（n，n²），
∵△APO∽△BOQ，
∴
∴，得n=，
∴Q（，）．
②設直線PQ的解析式為：y=kx+b，把P（m，m²）、Q（，）代入，得：
，
①-②得：m²-=（m+）k，
解得：k=m-③，
把③代入①，得：b=1，
∴M（0，1）
∵，∠QBO=∠MOA=90°，
∴△QBO∽△MOA
∴∠MAO=∠QOB，
∴QO∥MA
同理可證：EM∥OD
又∵∠EOD=90°，
∴四邊形ODME是矩形．
分析：（1）①已知m的值，代入拋物線的解析式中可求出點P的坐標；由此確定PA、OA的長，通過解直角三角形易得出結論．
②題干要求△OCQ是以OQ為腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO、CQ=CO三種情況來判斷：
QO=QC時，Q在線段OC的垂直平分線上，Q、O的縱坐標已知，C點坐標即可確定；
QO=OC時，先求出OQ的長，那么C點坐標可確定；
CQ=CO時，OQ為底，不合題意．
（2）①由∠QOP=90°，易求得△QBO∽△MOA，通過相關的比例線段來表示出點Q的坐標；
②在四邊形ODME中，已知了一個直角，只需判定該四邊形是平行四邊形即可，那么可通過證明兩組對邊平行來得證．
點評：考查了二次函數綜合題，該題涉及的知識點較多，有：解直角三角形、相似三角形、等腰直角三角形的判定、矩形的判定等重要知識點；（1）②題中，要注意分類進行討論，以免出現漏解、錯解的情況．