Question

【題目】（12分）矩形AOCD繞頂點A（0，5）逆時針方向旋轉，當旋轉到如圖所示的位置時，邊BE交邊CD于M，且ME=2，CM=4．

（1）求AD的長；

（2）求陰影部分的面積和直線AM的解析式；

（3）求經過A、B、D三點的拋物線的解析式；

（4）在拋物線上是否存在點P，使？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）7；（2）16，；（3）；（4）P（3，1）、（，）、（，）、（，）．

【解析】

試題（1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如圖1，由旋轉的性質得AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，得到∠ABP=∠MBQ，可證明Rt△ABP∽Rt△MBQ得到，設BQ=PD=x，AP=y，則AD=x+y，所以BM=x+y﹣2，利用比例性質得到PBMQ=xy，而PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，利用完全平方公式和勾股定理解得x+y=7，則BM=5，BE=BM+ME=7，所以AD=7；

（2）由AB=BM可得到Rt△ABP≌Rt△MBQ，則BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，利用勾股定理可得到MQ=3，則BQ=4，根據三角形面積公式和梯形面積公式，利用S陰影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM進行計算即可；然后利用待定系數法求直線AM的解析式；

（3）先確定B（3，1），然后利用待定系數法求拋物線的解析式；

（4）設P（x，y），則點P（x，y）到直線AM的距離為：=，而AM=，由=AMd==，得到，由，得到，即或，解方程即可得到點P的坐標．

試題解析：（1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如圖1，∵矩形AOCD繞頂點A（0，5）逆時針方向旋轉得到矩形ABEF，∴AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，∵∠PBQ=90°，∴∠ABP=∠MBQ，∴Rt△ABP∽Rt△MBQ，∴，設BQ=PD=x，AP=y，則AD=x+y，BM=x+y﹣2，∴，∴PBMQ=xy，∵PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，∴，即，∴，解得x+y=7，∴BM=5，∴BE=BM+ME=5+2=7，∴AD=7；

（2）∵AB=BM，∴Rt△ABP≌Rt△MBQ，∴BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，∵，∴，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，∴BQ=7﹣3=4，∴S陰影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM=×（4+7）×4﹣×4×3=16；

設直線AM的解析式為，把A（0，5），M（7，4）代入得：，解得：，∴直線AM的解析式為；

（3）設經過A、B、D三點的拋物線的解析式為，∵AP=MQ=3，BP=DQ=4，∴B（3，1），而A（0，5），D（7，5），∴，解得：，∴經過A、B、D三點的拋物線的解析式為；

（4）存在．∵A（0，5），M（7，4），∴AM=，設P（x，y），則點P（x，y）到直線AM的距離為：=，∵=AMd==，∴，∵，∴，∴或，

由，解得：，，此時P點坐標為（3，1）、（，）；

由，解得：，此時P點坐標為（，）、（，）；

綜上所述，點P的坐標為（3，1）、（，）、（，）、（，）．