Question

已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數圖象上的點，當四邊形ABCD（A、B、C、D各點依次排列）為正方形時，稱這個正方形為此函數圖象的伴侶正方形．例如：如圖，正方形ABCD是一次函數y=x+1圖象的其中一個伴侶正方形．

 

 

（1）若某函數是一次函數y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長是____________；

（2）若某函數是反比例函數，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點D（2，m）（m＜2）在反比例函數圖象上，則m的值為_________，反比例函數解析式_________________。

 

．

 

Answer 1

（1）或 ；（2）1，y=

解析:

解：（1）如圖1，當點A在x軸正半軸，點B在y軸負半軸上時，

∵OC=0D=1，

∴正方形ABCD的邊長CD=；

∵當點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時，

∴設正方形的邊長為a，

∴3a=CD=．

∴a=，

∴正方形邊長為 ，

∴一次函數y=x+1圖象的伴侶正方形的邊長為或 ；

（2）如圖2，作DE，CF分別垂直于x、y軸，

∵AB=AD=BC，∠DAE=∠OBA=∠FCB，

∴△ADE≌△BAO≌△CBF．

∵m＜2，

∴DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，

∴OF=BF+OB=2，

∴C點坐標為（2-m，2），

設反比例函數的解析式為：，

∵D（2，m），C（2-m，2）

∴

∴由②得：k=2m③，

∴把k=2m代入①得：2m=2（2-m），

∴解得m=1，k=2，

∴反比例函數的解析式為y=．