Question

（2012•道里區二模）如圖，在平面直角坐標系內，點O為坐標原點，直線y=

1

2

x+3交x軸于點A，交y軸于點B點C（4，O），過點C作AB的垂CD，點D為垂足，直線CD交y軸于點E，
（1）求點E的坐標．
（2）連接AE，動點P從點A出發以1個單位/秒的速度沿AC向終點C運動，過點P作PP₁∥CE交AE于點P₁，設點P（點P不與點A，C重合時）運動的時間為t秒，PP₁的長為y，求y與t之間的函數關系式（直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，點Q為P₁E中點，連接DQ，當t為何值時有

PP1

DQ

=

2

5

？并求出此時同時經過P、O、E三點的圓的面積．

Answer 1

分析：（1）對于直線y=

1

2

x+3，令x=0求出y的值，即為B的縱坐標，確定出B的坐標；令y=0求出x的值，即為A的橫坐標，確定出A的坐標，得出OB與OA的長，由C的坐標得出OC的長，由CD垂直于AB，得到一對直角相等，利用等角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的三角形相似可得出△AOB∽△EOC，由相似得比例，將各自的值代入即可求出OE的長，確定出E的坐標；
（2）如圖所示，在直角三角形OCE中，由OE與OC的長，利用勾股定理求出CE的長，再由PP′∥CE，得到兩對同位角相等，利用兩對對應角相等的三角形相似得到△APP′∽△ACE，由相似得比例，將各自的值代入即可得到y與t的函數關系式，并求出此時自變量t的范圍即可；
（3）連接EP，P′C，如圖所示，由Q、D分別為P′E、CD的中點，得到QD為三角形P′EC的中位線，利用三角形的中位線定理得到QD等于P′C的一半，代入

PP′

DQ

=

2

5

，得出P′C²=25PP′²，過點P′作P′H⊥CA于點H，可得P′H∥EO，利用兩直線平行同位角相等得到∠AEO=∠AP′H，進而確定出tan∠AEO=tan∠AP′H=

4

3

，在Rt△P′HC中，利用勾股定理列出關系式P′C²=P′H²+CH²，表示出AH與P′H，得到CH=AC-AH，將各自的值代入列出關于t的方程，求出方程的解得到t的值即可；由∠POE為直角，利用直角所對的弦為直徑得到PE為△PEO外接圓的直徑，由E的坐標求出OE的長，由AC-AP-OC求出OP的長，在直角三角形POE中，利用勾股定理求出PE的長，即為△PEO外接圓的直徑，求出半徑，利用圓的面積公式即可求出同時經過P、O、E三點的圓的面積．

解答：解：（1）∵直線y=

1

2

x+3與x軸交于A點，與y軸交于B點，
∴A（-6，0），B（0，3），即OA=6，OB=3，
∵C（4，0），
∴OC=4，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠EOC=90°，
∵∠BAC+∠ACE=90°，∠OEC+∠ACE=90°，
∴∠BAC=∠OEC，又∠AOB=∠EOC=90°，
∴△AOB∽△EOC，
∴

AO

EO

=

BO

OC

，即

6

EO

=

3

4

，
∴OE=8，即E（0，8）；


（2）在Rt△OCE中，根據勾股定理得：CE=

OE2+OC2

=4

5

，
∵PP′∥CE，
∴△APP′∽△ACE，
∴

PP′

CE

=

AP

AC

，
∵PP′=y，AP=t，AC=AO+CO=10，
∴

y

4 5

=

t

10

，
則y=

2 5

5

t，自變量t的取值范圍為0＜t＜10；

（3）連接EP，P′C，如圖所示：

∵Q、D分別為P′E、CD的中點，
∴QD=

1

2

P′C，
∵

PP′

DQ

=

2

5

，
∴

PP′

1 2 P′C

=

2

5

，
∴

PP′2

P′C2

=

1

25

，
∴P′C²=25PP′²，
過點P′作P′H⊥CA于點H，可得P′H∥EO，
∴∠AEO=∠AP′H，即tan∠AEO=tan∠AP′H=

4

3

，
在Rt△P′HC中，P′C²=P′H²+CH²，
∵tan∠AP′H=

4

3

，AP=AP′=t，
∴AH=

3

5

t，P′H=

4

5

t，
∴CH=AC-AH=10-

3

5

t，
∴（

4

5

t）²+（10-

3

5

t）²=25×（

2 5

5

t）²，
解得：t₁=2，t₂=-

50

19

（不合題意，舍去），
∴當t=2時，

PP′

DQ

=

2

5

；
∵∠POE=90°，
∴PE為△PEO外接圓的直徑，
∵E（0，8），即OE=8，OP=AC-AP-OC=10-2-4=4，
∴在Rt△OPE中，根據勾股定理得：PE²=OE²+OP²=80，
∴PE=4

5

，即△PEO外接圓的半徑為2

5

，
則△PEO外接圓的面積為20π．

點評：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：一次函數與坐標軸的交點，相似三角形的判定與性質，坐標與圖形性質，勾股定理，圓周角定理，銳角三角函數定義，以及三角形的中位線定理，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．