Question

如圖，ABCD是邊長為4cm的正方形，M是CD的中點，有一動點P從A點出發，以1cm/s的速度沿A→B→C→D→A方向運動，設P點運動的時間為t（s），△APM的面積為S（cm²）．
（1）當t=3時，求S；
（2）當t=7時，求S；
（3）當4＜t≤8時，試確定t與S的函數關系式；
（4）當8＜t≤16且t≠10時，試確定t與S的函數關系式．

Answer 1

解：（1）當t=3時，如圖：
過點M作MN⊥AB于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴四邊形MNBC是矩形，
∴MN=AD=4，
根據題意得：PA=3，
∴S=PA•MN=×3×4=6；

（2）當t=7時，如圖：
根據題意得：AB+BP=7，AB=BC=CD=4，
∴BP=3，CP=1，
∵M是CD的中點，
∴DM=CM=CD=2，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_△ADM-S_△ABP-S_△PCM=4×4-×4×3-×1×2-×2×4=5；

（3）當4＜t≤8時，如圖：
根據題意得：AB+BP=t，AB=BC=CD=4，
∴BP=t-4，CP=8-t，
∵M是CD的中點，
∴DM=CM=CD=2，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_△ADM-S_△ABP-S_△PCM=4×4-×4×（t-4）-×（8-t）×2-×2×4=12-t；
∴當4＜t≤8時，t與S的函數關系式為S=12-t；

（4）當8＜t＜10時，如圖1：
根據題意得：AB+BC+CP=t，AB=BC=CD=4，
∴CP=t-8，
∵M是CD的中點，
∴DM=CM=CD=2，
∴PM=CM-CP=2-（t-8）=10-t，
∴S=MP•AD=×（10-t）×4=20-2t；
當10＜t≤12時，如圖2：
根據題意得：AB+BC+CP=t，AB=BC=CD=4，
∴CP=t-8，
∵M是CD的中點，
∴DM=CM=CD=2
∴PM=CP-CM=（t-8）-2=t-10，
∴S=MP•AD=×（t-10）×4=2t-20；
當12＜t≤16時，如圖3：
根據題意得：AB+BC+CD+DP=t，AB=BC=CD=AD=4，
∴DP=t-12，
∵M是CD的中點，
∴DM=CM=CD=2，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_△DPM-S_梯形ABCM=4×4-×2×（t-12）-×（2+4）×4=16-t；
∴當8＜t≤16且t≠10時，t與S的函數關系式為：S=．
分析：（1）首先根據題意作圖，根據圖形可求得△APM的高MN的長，又由S=PA•MN，即可求得S的值；
（2）首先根據題意作圖，由題意求得BP，CP，CM，DM的長，又由S=S_{正方形ABCD}-S_△ADM-S_△ABP-S_△PCM，即可求得S的值；
（3）當4＜t≤8時，可知P在BC上，根據（2）的解題方法，首先求得BP，CP，CM，DM的長，又由S=S_{正方形ABCD}-S_△ADM-S_△ABP-S_△PCM，即可確定t與S的函數關系式；
（4）分別從8＜t＜10，10＜t≤12與12＜t≤16去分析，分別作出圖形，根據圖形求得△APM的面積S的值，即可求得t與S的函數關系式．
點評：此題考查了正方形的性質以及三角形的面積的求解方法，考查了動點問題．此題難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想與分類討論思想的應用．