Question

【題目】解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數軸上與1和－2的距離之和為5的點對應的x的值．在數軸上，1和－2的距離為3，滿足方程的x對應點在1的右邊或－2的左邊，若x對應點在1的右邊，由圖可以看出x＝2；同理，若x對應點在－2的左邊，可得x＝－3，故原方程的解是x＝2或x＝－3.

參考閱讀材料，解答下列問題：

(1)方程|x＋3|＝4的解為________．

(2)解不等式|x－3|＋|x＋4|≥9；

(3)若|x－3|＋|x＋4|≥a對任意的x都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 1和－7；(2) x≥4或x≤－5(3) a≤7

【解析】

(1)根據已知條件可以得到絕對值方程，可以轉化為數軸上，到某個點的距離的問題，即可求解；

(2)不等式|x－3|＋|x＋4|≥9表示到3與－4兩點距離的和，大于或等于9個單位長度的點所表示的數；

(3)|x－3|＋|x＋4|≥a對任意的x都成立，即求到3與－4兩點距離的和最小的數值．

(1)方程|x＋3|＝4的解就是在數軸上到－3這一點，距離是4個單位長度的點所表示的數，是1和－7.故解是1和－7；

(2)由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數軸上與3和－4的距離之和為大于或等于9的點對應的x的值．在數軸上，即可求得x≥4或x≤－5.

(3)|x－3|＋|x＋4|即表示x的點到數軸上與3和－4的距離之和，

當表示對應x的點在數軸上3與－4之間時，距離的和最小，是7.故a≤7.