Question

【題目】（12分）（2015秋萬州區期末）在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）如圖1，若D是BC邊上的中點，∠A=45°，DF=3，求AC的長；

（2）如圖2，D是線段BC上的任意一點，求證：BG=DE+DF；

（3）在圖3，D是線段BC延長線上的點，猜想DE、DF與BG的關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）AC=6；（2）見解析；（3）DE﹣DF=BG．見解析

【解析】

試題分析：（1）連結AD．根據△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG，然后根據等腰直角三角形的性質即可得到結論；

（2）連結AD．根據△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG；

（3）連結AD．根據△ABC的面積=△ABD的面積﹣△ACD的面積，以及AB=AC，即可得到DE﹣DF=BG．

解：如圖1，連結AD．

則△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積，即ABDE+ACDF=ACBG，

∵AB=AC，

∴DE+DF=BG，

∵D是BC邊上的中點，∴AD平分∠BAC，

∴DE=DF=3，

∴BG=6，

∵∠A=45°，

∴△AGB是等腰直角三角形，

∴AB=BG=6，

∴AC=6；

（2）證明：如圖2，連結AD．

則△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積，

即ABDE+ACDF=ACBG，

∵AB=AC，

∴DE+DF=BG；

（3）DE﹣DF=BG，

證明：如圖3，連接AD，則△ABC的面積=△ABD的面積﹣△ACD的面積，

即ABDE﹣ACDF=ACBG，

∵AB=AC，

∴DE﹣DF=BG．