Question

已知如圖，二次函數y=ax²+2ax-3a（a≠0）圖象的頂點為H，與x軸交于A、B兩點（B在A點右側），點H、B關于直線l：對稱．
（1）求A、B兩點坐標，并證明點A在直線l上；
（2）求二次函數解析式；
（3）設點s是三角形ABH上的一動點，從點A沿著AHB方向以每秒1個單位長度移動，運動時間為t秒，到達點B時停止運動．當t為何值時，以點s為圓心的圓與兩坐標軸都相切．
（4）過點B作直線BK∥AH交直線l于K點，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個動點，連接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

Answer 1

解：（1）依題意，得ax²+2ax-3a=0（a≠0），
即x²+2x-3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∵B點在A點右側，
∴A點坐標為（-3，0），B點坐標為（1，0），
答：A、B兩點坐標分別是（-3，0），（1，0）．

∵直線l：y=x+，
當x=-3時，y=×（-3）+=0，
∴點A在直線l上．

（2）∵點H、B關于過A點的直線l：y=x+對稱，
∴AH=AB=4，
如圖1，過頂點H作HC⊥AB交AB于C點，
則AC=AB=2，HC=2，
∴頂點H（-1，2），
代入二次函數解析式，解得a=-，
∴二次函數解析式為y=-x²-x+，
答：二次函數解析式為y=-x²-x+，

（3）∵A點坐標為（-3，0），點H（-1，2），
∴AH==4，
∵B點坐標為（1，0），點H（-1，2），
∴BH==4，
∵A點坐標為（-3，0），B點坐標為（1，0），
∴AB=4，即AB=AH=BH=4，
∴△ABH是等邊三角形，
如圖2，過點S作SC⊥AB于點C，過點S₁作S₁E⊥AB于點E，
設當t秒時，以點s為圓心的圓與兩坐標軸都相切．
則AS=t，AC=t，SC=t，
此時SC=CO，
即t=3-t，
解得：t=3（-1），
同理可得：S₁B=AH+HB-t=8-t，BE=，S₁E=，
當EO=S₁E，
即1-=，
解得：t=9-，
故當t=3（-1）或t=9-時，以點s為圓心的圓與兩坐標軸都相切．

（4）∵A點坐標為（-3，0），點H（-1，2），
∴將兩點代入解析式y=kx+b，
得出，
解得：，
故直線AH的解析式為y=x+3，
∵直線BK∥AH交直線l于K點，
∴直線BK的解析式為：y=x+b，
將B點坐標代入求出，
直線BK的解析式為：y=x-，
由，
解得，
即K（3，2），
則BK=4，
∵點H、B關于直線AK對稱，K（3，2），
∴HN+MN的最小值是MB，KD=KE=2，
如圖3，過點K作直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，KD=KE=2，
則QM=MK，QE=EK=2，AE⊥QK，
∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB=8，
∴HN+NM+MK的最小值為8，
答：HN+NM+MK和的最小值是8．
分析：（1）求出方程ax²+2ax-3a=0（a≠0），即可得到A點坐標和B點坐標；把A的坐標代入直線l即可判斷A是否在直線上；
（2）根據點H、B關于過A點的直線l：y=x+對稱，得出AH=AB=4，過頂點H作HC⊥AB交AB于C點，求出AC和HC的長，得出頂點H的坐標，代入二次函數解析式，求出a，即可得到二次函數解析式；
（3）首先判定△ABH是等邊三角形，進而構造直角三角形得出t的值即可；
（4）得出直線AH，BK的解析式，得到方程組，即可求出K的坐標，根據點H、B關于直線AK對稱，得出HN+MN的最小值是MB，過點K作直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．
點評：本題主要考查了對勾股定理，解二元一次方程組，二次函數與一元二次方程，二次函數與X軸的交點，用待定系數法求二次函數的解析式等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個綜合性比較強的題目，有一定的難度．