Question

已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．兩個動點P、Q分別從A、C兩點同時按順時針方向沿△ABC的邊運動．當點Q運動到點A時，P、Q兩點運動即停止．點P、Q的運動速度分別為1厘米/秒、2厘米/秒，設點P運動時間為（秒）．

（1）當時間為何值時，以P、C、Q三點為頂點的三角形的面積（圖中的陰影部分）等于2厘米²；

（2）當點P、Q運動時，陰影部分的形狀隨之變化．設PQ與△ABC圍成陰影部分面積為S（厘米²），求出S與時間的函數關系式，并指出自變量的取值范圍；

（3）點P、Q在運動的過程中，陰影部分面積S有最大值嗎？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）S_△PCQ＝PC·CQ＝＝＝2，      

　　　解得　＝1，＝2                         

∴當時間為1秒或2秒時，S_△PCQ＝2厘米²；     

（2）①當0＜≤2時，S＝＝；

　 ②當2＜≤3時， S＝＝；

　 ③當3＜≤4.5時，S＝＝；

（3）有；                                                             

①在0＜≤2時，當＝，S有最大值，S₁＝；  

　　

    ②在2＜≤3時，當＝3，S有最大值，S₂＝；       

   

    ③在3＜≤4.5時，當＝，S有最大值，S₃＝；

∵S₁＜S₂＜S₃∴＝時，S有最大值，S_最大值＝． 

【解析】（1）由于PC=3﹣t，CQ=2t，∠C=90°，可表示S_△PCQ，從而求出t的值；

（2）根據運動狀態，分三種可能情況：①當0＜t≤2時，②當2＜t≤3時，③當3＜t≤4.5時，分別表示陰影部分面積，在②中，S=S_△ABC﹣S_△APQ，由，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米，用勾股定理可求AB=5厘米，作AB邊上的高PH，利用相似比表示PH，再表示面積；

（3）用（2）的結論，分別求出每一種情況下的最大值（注意自變量取值范圍），再比較，求出整個過程中的最大值．