Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=a（x+）（x﹣3）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點M的縱坐標為－4．

（1）求出二次函數的解析式；

（2）如圖1，若過點M作直線MN∥y軸，點P是直線MN上的一個動點，當PA+PC最小時，求點P的坐標.

（3）如圖2，連結BC，在直線BC下方的拋物線上有一動點E，求△BCE面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-3；（2）P(,-2)；（3）

【解析】

（1）由二次函數y=a（x+）（x﹣3）可求出A,B的坐標分別為（-，0），（3，0），從而求出二次函數y=a（x+）（x﹣3）的對稱軸為x=，所點M的坐標為（，-4），把點M（，-4）代入y=a（x+）（x﹣3）即可求出a的值，從而得到二次函數解析式.

（2）如圖1，依題意可知，MN即為二次函數的對稱軸，所以連接BC，與MN的交點即為點P，先求直線BC的解析式，再令x=,求出對應的y的值即可.

（3）如圖2所示，過點E作EF⊥AB于點F,則△BCE的面積=梯形OCEF的面積+△BEF的面積-△BCO的面積，設點E的坐標為（x, x2-x-3）,因為點E在BC下方，所以x的取值范圍是0<x<3,根據等量關系式列式求解即可.

解：（1）依題意得：

A（-，0），B（3，0），

∴二次函數y=a（x+）（x﹣3）的對稱軸為x=，

∵頂點M的縱坐標為－4

∴M（，-4）.

∴-4=a(+）（﹣3）

解得：a=.

∴二次函數解析式為y=x2-x-3；

（2）如圖所示，

由于A,C在MN的同側，要在MN上找一點P，使PA+PC的值最小，先找到A點關于MN的對稱點B，再連接BC，BC與MN相交于點 P，此時P即為所求.

由（1）可知二次函數解析式為y=x2-x-3；B（3，0），

令x=0，則y=-3,故點C的坐標為（0，-3）

設直線BC的解析式為y=kx+b,則地

解得：

∴直線BC的解析式為y=x-3.

令x=，則y=-3=-2.

故點P的坐標為P(,-2)；

（3）如圖2所示，過點E作EF⊥AB于點F, 設點E的坐標為（x, x2-x-3）,因為點E在BC下方，所以x的取值范圍是0<x<3,

∴OF=x,EF=-x2+x+3,BF=<3-x.

∵OC=3,

∴△BCE的面積=梯形OCEF的面積+△BEF的面積-△BCO的面積

= (3-x2+x+3)x+ (-x2+x+3)( <3-x)- <33

= - + ++(- )+3x+ +---

= +(- )

=- +

∴當x= 時，△BCE的面積有最大值為.