Question

如圖，在銳角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于點H，且AH=6，點D為AB邊上的任意一點，過點D作DE∥BC，交AC于點E。設△ADE的高AF為x（0<x<6），以DE為折線將△ADE翻折，所得的△A′DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y，（點A關于DE的對稱點A′落在AH所在的直線上）。

（1）分別求出當0<x≤3與3<x<6時，y與x的函數關系式；
（2）當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？

Answer 1

解：（1）①當0＜x≤3時，由折疊得到的△A′ED落在△ABC內部如圖1，重疊部分為△A′ED ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC ∴， ∴， 即DE=x 又∵FA′=FA=x ∴y=DE·A′F=×x·x ∴y=x2（0＜x≤3） ②當3＜x＜6時，由折疊得到的△A′ED有一部分落在△ABC外，如圖2，重疊部為梯形EDPQ ∵FH=6-AF=6-x A′H=A′F-FH=x-（6-x）=2x-6 又∵DE∥PQ ∴△A′PQ∽△A′DE ∴ ∴， PQ=3（x-3） ∴y=（DE+PQ）×FH=[x+3（x-3）]×（6-x） ∴y=-x2+18x-27（3＜x＜6）； （2）當0＜x≤3時，y的最大值：y1=x2=×32=； 當3＜x＜6時，由y=-x2+18x-27=-（x-4）2+9 可知： 當x=4時，y的最大值：y2=9； ∵y1＜y2， ∴當x=4時，y有最大值：y最大=9。