Question

（2012•上虞市模擬）復習完“四邊形”內容后，老師出示下題：
如圖1，直角三角板的直角頂點P在正方形ABCD的對角線BD上移動，一直角邊始終經過點C，另一直角邊交直線AB于點Q，連接QC．求證：∠PQC=∠DBC．
（1）請你完成上面這道題；
（2）完成上題后，同學們在老師的啟發下進行了反思，提出許多問題，如：
①如圖2，若將題中的條件“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，其余條件都不變，是否仍能得到∠PQC=∠DBC？
②如圖3，若將題中的條件“正方形ABCD”改為“直角梯形ABCD”，其余條件都不變，是否仍能得到∠PQC=∠DBC？

請你對上述反思①和②作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：①

是

；②

是

．并對①、②中的判斷，選擇其中一個說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先過點P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分別為M、N．由四邊形ABCD為正方形，易證得△MPC≌△NPQ，即可得PC=PQ，即可得∠PQC=∠PCQ=45°=∠DBC．
（2）①首先過點P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分別為M、N．由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形PNBM為矩形，即可得△MPC∽△NPQ，由相似三角形的對應邊成比例，可得

PC

PQ

=

MP

NP

=

MP

MB

，又由在Rt△PBM中，tan∠PBM=

PM

BM

與在Rt△PQC中tan∠PQC=

PC

PQ

，即可證得∠PQC=∠DBC．
②首先過點P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分別為M、N．由四邊形ABCD是直角梯形，易得四邊形PNBM為矩形，即可得△MPC∽△NPQ，由相似三角形的對應邊成比例，可得

PC

PQ

=

MP

NP

=

MP

MB

，又由在Rt△PBM中，tan∠PBM=

PM

BM

與在Rt△PQC中tan∠PQC=

PC

PQ

，即可證得∠PQC=∠DBC．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABC=90°，∠ABD=∠DBC=

1

2

∠ABC=45°，
過點P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分別為M、N．
則∠PNB=∠PMB=90°，MP=NP．
∴∠MPN=90°，即∠QPN+∠QPM=90°．
∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90°，
∴∠CPM=∠QPN，
在△MPC和△NPQ中，
∵

∠CPM=∠QPN MP=NP ∠PMC=∠PNQ=90°

，
∴△MPC≌△NPQ（ASA）．                       
∴PC=PQ．
∴∠PQC=∠PCQ=45°=∠DBC．

（2）①是；②是．               
①的證明：如圖2，
過點P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分別為M、N．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠NBM=∠PMB=∠PNB=90°，
∴四邊形PNBM為矩形，則MB=NP，∠MPN=90°．
∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90°，∠QPN+∠QPM=∠MPN=90°，
∴∠CPM=∠QPN，
又∵∠PMC=∠PNQ=90°，
∴△MPC∽△NPQ，
∴

PC

PQ

=

MP

NP

，
∵PN=MB，
∴

PC

PQ

=

MP

NP

=

MP

MB

，
在Rt△PBM中，tan∠PBM=

PM

BM

，
在Rt△PQC中tan∠PQC=

PC

PQ

，
∴tan∠PBM=tan∠PQC，
∴∠PBM=∠PQC，
即∠PQC=∠DBC．
②的證明：如圖3，
過點P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分別為M、N，
∵四邊形ABCD是梯形，
∴∠NBM=∠PMB=∠PNB=90°，
∴四邊形PNMB是矩形，則MB=NP，∠MPN=90°．
∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90°，∠QPN+∠QPM=∠MPN=90°，
∴∠CPM=∠QPN，
又∵∠PMC=∠PNQ=90°，
∴△MPC∽△NPQ，
∴

PC

PQ

=

MP

NP

，
∵PN=MB，
∴

PC

PQ

=

MP

NP

=

MP

MB

，
在Rt△PBM中，tan∠PBM=

PM

BM

，
在Rt△PQC中tan∠PQC=

PC

PQ

，
∴tan∠PBM=tan∠PQC，
∴∠PBM=∠PQC，即∠PQC=∠DBC．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、正方形的性質、矩形的性質、直角梯形的性質以及正切函數的定義．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關鍵，注意數形結合思想的應用．