Question

10．操作與實踐：已知長方形紙片ABCD中，AD=3，AB=4．
操作一：如圖①，任意畫一條線段EF，將紙片沿EF折疊，使點B落到點B′的位置，EB′與CD交于點G．試說明重疊部分△EFG為等腰三角形；
操作二：如圖②，將紙片沿對角線AC折疊，使點B落到點B′的位置，AB′與CD交于點H．求△B′HC的周長．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質可知DC∥AB，根據平行線的性質可知∠GFE=∠FEB，由翻折的性質可知∠GEF=∠BEF，從而得到∠FEB=∠BEF從而得到三角形EFG為等腰三角形；
（2）先證明△ADH≌△CB′H，從而得到DH=DB′，然后將△B′HC的周長轉化為三角形B′C與DC的和即可．

解答 解：（1）由折疊的性質可知∠GEF=∠BEF．
∵DC∥AB，
∴∠GFE=∠FEB．
∴∠FEB=∠BEF．
∴EG=FG．
∴△EFG為等腰三角形．
（2）∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD=BC．
由翻折的性質可知：BC=CB′，∠B′=∠B=90°．
∴AD=CB′，∠D=∠B′．
在△ADH和△CB′H中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠B′}\\{∠DHA=∠B′HC}\\{AD=B′C}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△CB′H．
∴B′H=DH．
∴△B′HC的周長=B′C+B′H+HC=BC+DH+HC=7．

點評 本題主要考查的是翻折的性質、等腰三角形的判定、全等三角形的性質和判定，證得B′H=DH是解題的關鍵．