Question

解決問題：如圖，已知正方形ABCD，點E是邊AB上一動點，點F在AB邊或其延長線上，點G在邊AD上．連結ED，FG，交點為H．
【小題1】如圖1，若AE=BF=GD，請直接寫出∠EHF=    ▲   °；
【小題2】如圖2，若EF =CD，GD=AE，設∠EHF=α．請判斷當點E在AB上運動時， ∠EHF的大小是否發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，請求出tanα．                                              

Answer 1

【小題1】45°；
連接FC和CG（如圖1），由題意可知ABCD為正方形，AE=BF=GD，
 
∴△AED≌△BFC≌△DGC（SAS），
∴CF=GC，∠AED=∠BFC，∠BCF=∠DCG，
∴ED∥FC，
∴∠EHF=∠GFC，
又∵∠BCD=90°=∠BCG+∠GCD=∠BCG+∠BCF=∠GCF，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴∠GFC=∠FGC=45°，
∴∠EHF=45°；（4分）
【小題2】答：不會變化．
證明：如圖2，過點F作FM∥ED交CD于M，連接GM．
∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴四邊形EFMD為平行四邊形．
∴EF=DM，DE=FM．
∴∠3=∠4，∠EHF=∠HFM=α．
∵EF=CD，GD=AE，
∴．
∴，
∵∠A=∠GDM=90°，
∴△DGM∽△AED．
∴
∠1=∠2，
∴，
 
∵∠2+∠3=90°，∠1=∠2，∠3=∠4．
∴∠1+∠4=90°．
∴∠GMF=90°．
在Rt△GFM中，tanα=．（4分）解析:
（1）作輔助線，連接FC和GC，可證得△FCG為等腰直角三角形，利用∠EHF=∠GFC=45°，問題可求．
（2）作輔助線，過點F作FM∥ED交CD于M，連接GM，則會有∠EHF=∠GFM，將問題轉化到△GFM中，據已知正方形關系，可證得四邊形EFMD為平行四邊形，△GFM為直角三角形，于是，α可求．