Question

問題背景  在△ABC中，∠B=2∠C，點D為線段BC上一動點，當AD滿足某種條件時，探討在線段AB、BD、CD、AC四條線段中，某兩條或某三條線段之間存在的數量關系．
例如：在圖1中，當AB=AD時，可證得AB=DC，現在繼續探索：
任務要求：
（1）當AD⊥BC時，如圖2，求證：AB+BD=DC；
（2）當AD是∠BAC的角平分線時，判斷AB、BD、AC的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）在DC上截取DM=BD，連接AM．
在△ABD與△AMD中，，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴AB=AM，
∴∠B=∠AMB．
∵∠AMD=∠MAC+∠C，∠B=2∠C，
∴∠C=∠MAC，
∴AM=MC，
∴MC=AB，
則AB+BD=DC；

（2）AB+BD=AC．
方法一：如圖a，在AC上截取AM=AB，連接DM．
在△ABD和△AMD中，，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴∠B=∠AMD．
∵∠B=2∠C（已知），∠AMD=∠C+∠MDC（外角定理），
∴∠C=∠MDC（等量代換），
∴DM=MC，則MC=BD，
則AB+BD=AC．

方法二：如圖b，延長AB到M，使BM=BD，連接MD．
∴∠ABD=∠M+∠BDM=2∠M．
∵∠ABD=2∠C，
∴∠M=∠C．
又∵∠BAD=∠CAD（角平分線的性質），
AD=AD（公共邊）
∴△AMD≌△ACD．
∴AM=AC，
∴AB+BD=AC．
分析：（1）作輔助線“在DC上截取DM=BD，連接AM”構建全等三角形△ABD≌△AMD，然后由全等三角形的對應角相等以及等腰三角形的性質證得∠B=∠AMB；再由已知條件、三角形外角定理求得∠C=∠MAC，所以AM=MC；最后根據等量代換求得MC=AB，即AB+BD=DC；
（2）假設結論AB+BD=AC．方法一：如圖a在AC上截取AM=AB，連接DM．先證△ABD≌△AMD，可得∠B=∠AMD．再證DM=MC，則MC=BD；
方法二：如圖b延長AB到M，使BM=BD，連接MD．∠ABD=∠M+∠BDM=2∠M．由∠ABD=2∠C，得∠M=∠C．再證△AMD≌△ACD．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質．解答該題的關鍵是通過作輔助線構建全等三角形來證明結論的．