Question

已知關于x的方程有兩個相等的實數根,試證明以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形。

Answer 1

a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0去括號，整理為一般形式為：（c-a）x²+2bx+a+c=0，
∵關于x的一元二次方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有兩個相等的實數根。
∴△=0，即△=△=（2b）²-4（c-a）（a+c）=4（b²+c²-a²）=0，
∴b²+c²-a²=0，即b²+c²=a²．
∴以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形。

分析：先把方程變為一般式：（c-a）x²+2bx+a+c=0，由方程有兩個相等的實數根，得到△=0，即△=（2b）²-4（c-a）（a+c）=4（b²+c²-a²）=0，則有b²+c²-a²=0，即b²+c²=a²，根據勾股定理的逆定理可以證明以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形。
解答：
證明：∵a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0
去括號，整理為一般形式為：（c-a）x²+2bx+a+c=0，
∵關于x的一元二次方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有兩個相等的實數根。
∴△=0，即△=△=（2b）²-4（c-a）（a+c）=4（b²+c²-a²）=0，
∴b²+c²-a²=0，即b²+c²=a²。
∴以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形。
點評：本題考查了一元二次方程的根的判別式和勾股定理的逆定理等知識。當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根。