Question

某工廠生產某品牌的護眼燈，并將護眼燈按質量分成15個等級（等級越高，質量越好．如：二級產品好于一級產品）．若出售這批護眼燈，一級產品每臺可獲利21元，每提高一個等級每臺可多獲利潤1元，工廠每天只能生產同一個等級的護眼燈，每個等級每天生產的臺數如下表表示：

等級（x級）	一級	二級	三級	…
生產量（y臺/天）	78	76	74	…

（1）已知護眼燈每天的生產量y（臺）是等級x（級）的一次函數，請直接寫出與之間的函數關系式：_____；
（2）每臺護眼燈可獲利z（元）關于等級x（級）的函數關系式：______；
（3）若工廠將當日所生產的護眼燈全部售出，工廠應生產哪一等級的護眼燈，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

詳見解析.

解析試題分析：（1）由于護眼燈每天的生產量y（臺）是等級x（級）的一次函數，所以可設y＝kx+b，再把代入，運用待定系數法即可求出y與x之間的函數關系式；
（2）根據“一級產品每臺可獲利21元，每提高一個等級每臺可多獲利潤1元”即可直接寫出答案；
（3）設工廠生產x等級的護眼燈時，獲得的利潤為w元．由于等級提高時，帶來每臺護眼燈利潤的提高，同時銷售量下降．而x等級時，每臺護眼燈的利潤為[21+1（x-1）]元，銷售量為y元，根據：利潤＝每臺護眼燈的利潤×銷售量，列出w與x的函數關系式，再根據函數的性質即可求出最大利潤．
試題解析：
解：（1）由題意，設y＝kx+b．
把（1，78）、（2，76）代入，得，解得，
∴y與x之間的函數關系式為y＝-2x+80．故答案為y＝-2x+80；
（2）∵一級產品每臺可獲利21元，每提高一個等級每臺可多獲利潤1元
∴每臺護眼燈可獲利z（元）關于等級x（級）的函數關系式：；
（3）設工廠生產x等級的護眼燈時，獲得的利潤為w元．
由題意，有w＝[21+1（x-1）]y
＝[21+1（x-1）]（-2x+80）
＝-2（x-10）²+1800，
所以當x＝10時，可獲得最大利潤1800元．
故若工廠將當日所生產的護眼燈全部售出，工廠應生產十級的護眼燈時，能獲得最大利潤，最大利潤是1800元．
考點：二次函數的應用．