Question

【題目】如圖，在中，，，點P從點B出發，沿BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動，同時點Q從點C出發，沿折線以每秒5個單位長度的速度運動，到達點A時，點Q停止1秒，然后繼續運動．分別連結PQ、BQ．設的面積為S，點P的運動時間為秒．

（1）求點A與BC之間的距離．

（2）當時，求的值．

（3）求S與之間的函數關系式．

（4）當線段PQ與的某條邊垂直時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）或；（3）當0＜t≤1時，；當1＜t≤2時，；當2＜t≤3時，；（4）或或．

【解析】

（1）作AD⊥BC于點D，利用等腰三角形的三線合一可得BD＝3，再利用勾股定理即可求得AD的長；

（2）分兩種情況討論，當0＜t≤1時，點Q在AC上；當2＜t≤3時，點Q在AB上，先用含t 的代數式表示BP和AQ的長，再根據列出方程求解即可；

（3）分三種情況討論，當0＜t≤1時，點Q在AC上，當1＜t≤2時，點Q與點A重合；當2＜t≤3時，點Q在AB上，畫出相應的圖形，過點Q作QE⊥BC于點E，根據相似三角形的性質可表示出QE的長，進而可得S與t的函數關系式；

（4）分三種情況討論，當PQ⊥AC時，當PQ⊥BC時，當PQ⊥AB時，畫出相應的圖形，利用相似三角形的性質列出方程求解即可．

（1）如圖，作AD⊥BC于點D．

∵AB＝AC＝5，AD⊥BC，BC＝6，

∴BD＝BC＝3．

∴在Rt△ABD中，AD＝．

（2）當0＜t≤1時，由題意可知：BP＝2t，AQ＝5－5t，

∵，

∴，

解得．

當2＜t≤3時，由題意可知：BP＝2t，AQ＝5(t－2)＝5t－10，

∵，

∴，

解得．

綜上所述，當時，的值為或．

（3）當0＜t≤1時，如圖，點Q在AC上，過點Q作QE⊥BC于點E，

∵AD⊥BC，QE⊥BC，

∴AD∥QE，

∴△QEC∽△ADC，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

當1＜t≤2時，如圖，點Q與點A重合，

則，

∴；

當2＜t≤3時，如圖，點Q在AB上，過點Q作QE⊥BC于點E，

∵AD⊥BC，QE⊥BC，

∴AD∥QE，

∴△QEB∽△ADB，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

綜上所述：當0＜t≤1時，；當1＜t≤2時，；當2＜t≤3時，；

（4）當PQ⊥AC時，如圖，

∵AD⊥BC，PQ⊥AC，

∴∠ADC＝∠PQC＝90°，

又∵∠C＝∠C，

∴△PQC∽△ADC，

∴，

∴，

解得：，

當PQ⊥BC時，

由題意可知此時點Q與點A重合，且點P與點D重合，如圖，

則BP＝BD＝3，

∴2t＝3，

解得：，

當PQ⊥AB時，如圖，

∵AD⊥BC，PQ⊥AB，

∴∠ADB＝∠PQB＝90°，

又∵∠B＝∠B，

∴△PQB∽△ADB，

∴，

∴，

解得：，

綜上所述：當線段PQ與的某條邊垂直時，t的值為或或．