Question

先閱讀下面材料，再解答問題：
初中數學教科書中有這樣一段敘述：“要比較a與b的大小，可先求出a與b的差，再看這個差是正數，負數還是零．由此可見，要比較兩個代數式值的大小，只要考慮它們的差就可以了．
甲、乙兩人兩次同時在同一糧店購買糧食（假設兩次購買糧食的單價不相同），甲每次購買糧食100千克，乙每次購買糧食用去100元，設甲、乙兩人第一次購糧食的單價為每千克x元，第二次購買糧食的單價為每千克y元
（1）用含x、y的代數式表示：甲每次購買糧食共需要付款

（100x+100y）

元，乙兩次共購買

（

100

x

+

100

y

）

千克糧食，若甲兩次購買糧食的平均單價為Q₁元，乙兩次購買糧食的平均單價為Q₂元，則Q₁=

x+y

2

，Q₂=

2xy

x+y

．（共四個填空）
（2）若規定“誰兩次購買糧食的平均單價低，誰的購買糧食方式更合算”，請你判斷甲、乙兩人的購買糧食方式那一個更合算些，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據兩次購買糧食的單價及買的千克數，表示出甲兩次買糧食的錢數即可；用100元除以兩次單價，相加即可得到乙購買糧食的千克數；表示出甲兩次購買糧食的平均單價為Q₁元，乙兩次購買糧食的平均單價為Q₂元即可；
（2）由（1）得到Q₁-Q₂，通分并利用同分母分式的減法法則計算，利用完全平方公式整理后判斷差為正數，可得出Q₁＞Q₂，即乙購買糧食的方式更合算些．

解答：解：（1）甲每次購買糧食共需要付款（100x+100y）元；
乙兩次共購買（

100

x

+

100

y

）千克的糧食；
Q₁=

x+y

2

；Q₂=

2xy

x+y

；
故答案為：（100x+100y）；（

100

x

+

100

y

）；

x+y

2

；

2xy

x+y

；
（2）乙購買糧食的方式更合算些，理由為：
Q₁-Q₂=

x+y

2

-

2xy

x+y

=

(x+y)2-4xy

2(x+y)

=

(x-y)2

2(x+y)

，
∵x≠y，x＞0，y＞0，
∴（x-y）²＞0，2（x+y）＞0，
∴

(x-y)2

2(x+y)

＞0，
∴Q₁-Q₂＞0，即Q₁＞Q₂，
∴乙購買糧食的方式更合算些．

點評：此題考查了分式混合運算的應用，弄清題意是解本題的關鍵．