Question

如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于點A、B（點A在點B右側），與y軸交于點C(0，-3)，且OA=2OC．
（1）求這條拋物線的表達式及頂點M的坐標；
（2）求的值；
（3）如果點D在這條拋物線的對稱軸上，且∠CAD=45º，求點D的坐標.

Answer 1

(1)M(2,4)；(2)tan∠MAC=；(3)，.

解析試題分析：
（1）根據與y軸的交點C的坐標（0，-3）就可以求出OC的值及c的值，進而求出OA的值及A的坐標，由待定系數法就可以求出b的值而求出解析式及定點坐標；
（2）如圖1，過點M作MH⊥x軸，垂足為點H，交AC于點N，過點N作NE⊥AM于點E，垂足為點E．在Rt△AHM中，HM=AH=4，就可以求出AM的值，再由待定系數法求出直線AC的解析式，就可以求出點N的坐標，進而求出MN的值，由勾股定理就可以求出ME及NE的值，從而求出AE的值就可以得出結論；
（3）如圖2，分類討論，當D點在AC上方時，根據角之間的關系就可以求出∠D₁AH=∠CAM，當D點在AC下方時，∠MAC=∠AD₂M就可以求出點D的坐標．
試題解析：
∵C(0，-3)，∴OC=3.
∵OA=2OC,∴OA=6.
∵，點A在點B右側，拋物線與y軸交點C(0，-3)
∴.
∴.
∴，∴.
（2）過點M作MH⊥x軸，垂足為點H，交AC于點N，過點N作NE⊥AM于點E，垂足為點E.

在Rt△AHM中,HM=AH=4,,.求得直線AC的表達式為．
∴N（2,-2）．∴MN=2.
在Rt△MNE中,∴,
∴.
在Rt△AEN中,.
（3）?當D點在AC上方時，
∵,
又 ∵,
∴.
∴
∵點在拋物線的對稱軸直線x=2上,
∴,∴.
在Rt△AH中,.
∴.
?當D點在AC下方時，
∵，
又 ∵∠AMH=∠D₂AM+∠AD₂M=45º，
∴.
∴
在Rt△中，.
∴.

綜上所述：，.
考點：二次函數綜合題．