Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，將點P繞點T（t，0）（t＞0）旋轉180°得到點Q，則稱點Q為點P的“發展點”．

（1）當t＝3時，點（0，0）的“發展點”坐標為　 　，點（﹣1，﹣1）的“發展點”坐標為　 　．

（2）若t＞2，則點（2，3）的“發展點”的橫坐標為　 　（用含t的代數式表示 ）．

（3）若點P在直線y＝2x+6上，其“發展點”Q在直線y＝2x﹣8上，求點T的坐標．

（4）點P（2，2）在拋物線y＝﹣x2+k上，點M在這條拋物線上，點Q為點P的“發展點”，若△PMQ是以點M為直角頂點的等腰直角三角形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）（6，0），（7，1）；（2）2t﹣2；（3）T（，0）；（4）t的值為或5．

【解析】

（1）利用數形結合的思想和中心對稱的性質求解；

（2）利用數形結合的思想和中心對稱的性質求解；

（3）設，，點和點關于對稱，根據中點坐標公式得到，，然后求出得到點坐標；

（4）先把代入中求出得到拋物線解析式為，利用點為點的“發展點”得到點為的中點，再根據等腰直角三角形的性質得到為等腰直角三角形，討論：當時，把點繞點順時針旋轉得到點，利用旋轉的性質易得，然后點的坐標代入得，再解方程即可；當時，利用同樣方法求對應的值．

（1）把（0，0）繞點（3，0）旋轉180°得到點的坐標為（6，0）；

把（﹣1，﹣1）繞點（3，0）旋轉180°得到點的坐標為（7，1）；

（2）把（2，3）繞點（t，0）旋轉180°得到點的坐標為（2t﹣2，﹣3）；

故答案為（6，1），（7，1）；2t﹣2；

（3）設P（m，2m+6），Q（n，2n﹣8），

∵P點和Q點關于T（t，0）對稱，

∴＝0，＝t，

∴m+n＝1，t＝，

∴T（，0）；

（4）把（2，2）代入y＝﹣x2+k得﹣4+k＝2，

解得k＝6，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+6，

∵點Q為點P的“發展點”，

∴點T為PQ的中點，

∵△PMQ是以點M為直角頂點的等腰直角三角形，

∴MT垂直平分PQ，

∴△PTM為等腰直角三角形，

當0＜t≤2時，

把P點繞T點順時針旋轉90°得到點M，

則M（t+2，t﹣2），

把M（t+2，t﹣2）代入y＝﹣x2+6得﹣（t+2）2+6＝t﹣2，

解得t1＝，t2＝（舍去），

當t＞2時，

把P點繞T點逆時針旋轉90°得到點M，

則M（t﹣2，2﹣t），

把M（t﹣2，2﹣t）代入y＝﹣x2+6得﹣（t﹣2）2+6＝2﹣t，

解得t1＝5，t2＝0（舍去），

綜上所述，t的值為或5．