Question

如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm，射線AG∥BC，點E從點A出發沿射線AG以2cm/s的速度運動，同時點F從點B出發沿射線BC以3cm/s的速度運動，設運動時間為t（s）．
（1）連接EF，當EF經過AC邊的中點D時，求證：△ADE≌△CDF．
（2）①當t為何值時，四邊形ACFE是平行四邊形；②當t為何值時，以A、F、C、E為頂點的四邊形是直角梯形．

Answer 1

分析：1）由題意得到AD=CD，再由AG與BC平行，利用兩直線平行內錯角相等得到兩對角相等，利用AAS即可得證；
（2）①若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E運動的時間即可；
②分兩種情況考慮：
情形一：四邊形AFCE為直角梯形時，AF⊥BC或CE⊥AG．
情形二：若四邊形ACFE是直角梯形時，此時EF⊥AG．

解答：（1）證明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D為AC的中點，
∴AD=CD，
在△ADE和△CDF中，

∠EAD=∠DCF ∠ADE=∠CDF AD=CD

，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；

（2）解：①由題意得：AE=2t，CF=3t-6．
若四邊形ACFE是平行四邊形，則有CF=AE，則2t=3t-6，
解得t=6．
所以，當t=6時，四邊形ACFE是平行四邊形；
②情形一：四邊形AFCE為直角梯形時，AF⊥BC或CE⊥AG．
當AF⊥BC時，則BF=3t=3，解得t=1，符合題意；
當CE⊥AG，則AE=2t=3，解得t=1.5，符合題意．
情形二：若四邊形ACFE是直角梯形時，此時EF⊥AG．
則BF-AE=3，即3t-2t=3，解得t=3，符合題意；
綜上所述，當t=1s、1.5s或3s時，以A、F、C、E為頂點的四邊形是直角梯形．

點評：此題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，以及直角梯形，弄清題意是解本題的關鍵．