Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，點P在線段AB上運動，設AP=x，現將紙片折疊，使點D與點P重合，得折痕EF（點E、F為折痕與矩形邊的交點），再將紙片還原．
（1）當點E與點A重合時，折痕EF的長為______；
（2）寫出使四邊形EPFD為菱形的x的取值范圍，并求出當x=2時菱形的邊長；
（3）令EF²=y，當點E在AD、點F在BC上時，寫出y與x的函數關系式（寫出x的取值范圍）．

Answer 1

解：（1）∵紙片折疊，使點D與點P重合，得折痕EF，
當點E與點A重合時，
∵點D與點P重合是已知條件，
∴∠DEF=∠FEP=45°，
∴∠DFE=45°，即：ED=DF=1，
利用勾股定理得出EF=，
∴折痕EF的長為 ．
故答案為：；

（2）∵要使四邊形EPFD為菱形，
∴DE=EP=FP=DF，
只有點E與點A重合時，EF最長為，此時x=1，
當EF最長時，點P與B重合，此時x=3，
∴探索出1≤x≤3
當x=2時，如圖，連接DE、PF．
∵EF是折痕，
∴DE=PE，設PE=m，則AE=2-m
∵在△ADE中，∠DAP=90°，
∴AD²+AE²=DE²，即1²+（2-m）²=m²，
解得 m=1.25，此時菱形EPFD的邊長為1.25；
（3）過E作EH⊥BC；

∵∠EDO+∠DOE=90°，∠FEO+∠EOD=90°，
∴∠ODE=∠FEO，
∴△EFH∽△DPA，
∴，
∴FH=3x；
∴y=EF²=EH²+FH²=9+9x²；
當F與點C重合時，如圖，連接PF；
∵PF=DF=3，
∴PB=，
∴0≤x≤3-2．
分析：（1）當點E與點A重合時，得出∠DEF=∠FEP=45°，利用勾股定理得出答案即可；
（2）結合EF的長度得出x的取值范圍，當x=2時，設PE=m，則AE=2-m，利用勾股定理得出答案；
（3）構造直角三角形，利用相似三角形的對應線段成比例確定y的值．
點評：此題是一道綜合性較強的題目，主要考查學生的圖感，利用折疊過程中的等量關系尋找解題途徑；特別是最后一問中涉及到的知識點比較多，需要同學們利用相似三角形的性質確定函數關系式．