Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．過點A作對角線BD的平行線與邊CD的延長線相交于點E．P為邊BD上的一個動點（不與端點B，D重合），連接PA，PE，AC．

（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）求四邊形ABDE的周長和面積；

（3）記△ABP的周長和面積分別為C1和S1，△PDE的周長和面積分別為C2和S2，在點P的運動過程中，試探究下列兩個式子的值或范圍：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，請直接寫出這個定值；如果不是定值的，請直接寫出它的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）ABDE的周長為：，面積為；

（3）①；②S1+S2的值為定值，這個定值為

【解析】

（1）利用菱形的性質得：AB∥DE，由兩組對邊分別平行的四邊形可得結論；
（2）設對角線AC與BD相交于點O．根據直角三角形30°角的性質得AC的長，由勾股定理得OB的長和BD的長，根據平行四邊形的性質可得其周長和面積；
（3）①先根據三角形的周長計算C1+C2=2AB+BD+AP+PE=4+2+AP+PE，確定AP+PE的最大值和最小值即可；
根據軸對稱的最短路徑問題可得：當P在D處時，AP+PE的值最小，最小值是2+2=4，由圖形可知：當P在點B處時，AP+PE的值最大，構建直角三角形計算即可；
②S1+S2的值為定值，這個定值為，根據面積公式可得結論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

即AB∥DE．

∵BD∥AE，

∴四邊形ABDE是平行四邊形．

（2）解：設對角線AC與BD相交于點O．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴∠ABD＝∠CBP＝∠ABC＝30°，AC⊥BD．

在Rt△AOB中，AO＝AB＝1，

∴OB＝．

∴BD＝2BO＝2．

∴ABDE的周長為：2AB+2BD＝4+4，

ABDE的面積為：BDAO＝2×1＝2．

（3）①∵C1+C2＝AB+PB+AP+PD+PE+DE＝2AB+BD+AP+PE＝4+2+AP+PE，

∵C和A關于直線BD對稱，

∴當P在D處時，AP+PE的值最小，最小值是2+2＝4，

當P在點B處時，AP+PE的值最大，如圖2，

過E作EG⊥BD，交BD的延長線于G，

∵∠BDE＝150°，

∴∠EDG＝30°，

∵DE＝2，

∴EG＝1，DG＝，

Rt△PEG中，BG＝2+＝3，

由勾股定理得：PE＝，

∴AP+PE的最大值是：2+2，

∵P為邊BD上的一個動點（不與端點B，D重合），

∴4+4+2＜C1+C2＜4+2+2+2，即8+2＜C1+C2＜6+2+2；

（寫對一邊的范圍給一分）

②S1+S2的值為定值，這個定值為；

理由是：S1+S2＝．