Question

【題目】定義：把一個半圓與拋物線的一部分組成的封閉圖形稱為“蛋圓”．

如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A，B，與y軸交于點D，以AB為直徑，在x軸上方作半圓交y軸于點C，半圓的圓心記為M，此時這個半圓與這條拋物線x軸下方部分組成的圖形就稱為“蛋圓”．

（1）直接寫出點A，B，C的坐標及“蛋圓”弦CD的長；

A　 　，B　 　，C　 　，CD＝　 　；

（2）如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．

①求經過點C的“蛋圓”切線的解析式；

②求經過點D的“蛋圓”切線的解析式；

（3）由（2）求得過點D的“蛋圓”切線與x軸交點記為E，點F是“蛋圓”上一動點，試問是否存在S△CDE＝S△CDF，若存在請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）點P是“蛋圓”外一點，且滿足∠BPC＝60°，當BP最大時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，），CD＝3+；（2）①；②y＝﹣2x﹣3；（3）F′（，），F′′（，）；（4）點P的坐標為（1，2）．

【解析】

（1）根據拋物線與一元二次方程的關系以及勾股定理解答；

（2）運用待定系數法求出經過點C的“蛋圓”切線的解析式；運用二元二次方程組、一元二次方程根的判別式求出過點D的“蛋圓”切線的解析式；

（3）根據題意求出點E的坐標，根據同底等高的兩個三角形面積相等解答；

（4）根據∠BPC＝60°保持不變，點P在一圓弧上運動和直徑是最大的弦進行解答即可．

（1）當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3，

當x＝0時，y＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），OD＝3，

如圖1，連接MC，由題意得，OM＝1，MC＝2，

∴OC＝，

∴C（0，），CD＝3+，

故答案為：（﹣1，0）；（3，0）；（0，）；3+；

（2）①如圖2，NC⊥CM，

∵∠CMO=∠NMC，

∴，

∴，即，

∴，

∴N的坐標為（﹣3，0），

設NC的解析式為，

∴，

∴，

∴經過點C的“蛋圓”切線的解析式為：，

②過點D的“蛋圓”切線的解析式為：y＝kx﹣3，

由，

得：x2﹣（2+k）x＝0，即：，

∵直線與拋物線只有一個交點，

∴，即k＝﹣2，

∴經過點D的“蛋圓”切線的解析式為：y＝﹣2x﹣3．

（3）如圖3，∵經過點D的“蛋圓”切線的解析式為：y＝﹣2x﹣3，

∴E點坐標為（，0），

∵S△CDE＝S△CDF，

∴F點的橫坐標為，

在Rt△MQF1中

，，

∴，

把x＝代入y＝x2﹣2x﹣3，可求得y＝．

∴F′（，），F′′（，）；

（4）如圖4，∵∠BPC＝60°保持不變，

因此點P在一圓弧上運動．

此圓是以K為圓心（K在BC的垂直平分線上，且∠BKC＝120°），BK為半徑．

當BP為直徑時，BP最大．

∵B（3，0），C（0，），

∴OB=，OC，

∴，

∵BP為直徑，

∴∠PCB＝90°，

∵∠BPC＝60°

∴ ，，即：，

∴，

過點P作PR⊥y軸于點R，

∵∠RCP+∠PCB+∠OCB＝180，

∴∠RCP+∠OCB＝90，

∠OBC+∠OCB＝90，

∴∠RCP＝∠OBC，

∴

∴

∴

∴PR＝1，RC＝．

所以點P的坐標為（1，2）．