Question

如圖所示，二次函數y=ax²+bx+1（a≠0）的圖像與x軸分別交于A（-，0）、B（2，0）兩點，且與y軸交于點C。
（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
（2）在x軸上方的拋物線上有一點D，且以A、C、D、B四點為頂點的四邊形是等腰梯形，請直接寫出D點的坐標；
（3）在此拋物線上是否存在點P，使得以A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點坐標;若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）根據題意，將A（-，0）、B（2，0）代入中得， 解這個方程，得， ∴該拋物線的解析式為 當x=0時，y=1， ∴點C的坐標為（0，1） ∴在Rt△AOC中， 在Rt△BOC中，， ∵ ∴△ABC是直角三角形；
（2）點D的坐標為（，1）；
（3）存在， 由（1）知，AC⊥BC， ①若以BC為底邊，則BC∥AP， 如圖1所示，可求得直線BC的解析式為， 把A（-，0）代入直線AP的解析式， 求得， ∴直線AP的解析式為 ∵點P既在拋物線上，又在直線AP上 ∴點P的縱坐標相等，即 解得，（舍去） 當時， ∴點P（，-） ②若以AC為底邊，則BP∥AC， 如圖2所示，可求得直線AC的解析式為y=2x+1， 直線BP可以看作是由直線AC平移得到的， 所以設直線BP的解析式為y=2x+b2， 把B（2，0）代入直線BP的解析式， 求得b2=-4， ∴直線BP的解析式為y=2x-4 ∵點P既在拋物線上，又在直線BP上 ∴點P的縱坐標相等 即， 解得（舍去） 當時，y=-9， ∴點P的坐標為（-，-9） 綜上所述，滿足題目條件的點P為（，-）或（-，-9）。