Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD是AB邊上的中線，點E為線段CD上一點（不與點C、D重合），連接BE，作EF⊥BE與AC的延長線交于點F，與BC交于點G，連接BF．

（1）求證：△CFG∽△EBG；

（2）求∠EFB的度數；

（3）求的值；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）45°，（3）

【解析】

（1）得出∠FCG=∠BEG=90°，∠CGF=∠EGB，則結論得證；
（2）證明△CGE∽△FGB，得出∠EFB=∠ECG=∠ACB=45°；
（3）過點F作FH⊥CD交DC的延長線于點H，證明△FEH≌△EBD（AAS），得出FH=ED，則CH=FH，得出CF=DE，則得出答案．

（1）證明：∵，，

∴，

又∵，

∴．

（2）解：由（1）得，

∴，∴，

又∵,

∴，

∴．

（3）解：過點F作FH⊥CD交DC的延長線于點H，

由（2）知，△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BE，
∵∠FEH+∠DEB=90°，∠EBD+∠DEB=90°，
∴∠FEH=∠EBD，
在△FEH和△EBD中，
，
∴△FEH≌△EBD（AAS），
∴FH=ED，
∵∠FCH=∠ACD=45°，∠CHF=90°，
∴∠CFH=∠CFH=45°，
∴CH=FH，
在Rt△CFH中，CF=FH，
∴CF=DE，
∴．