【題目】定義運算:ab=a(1﹣b).若a,b是方程x2﹣x+ m=0(m<0)的兩根,則bb﹣aa的值為( )
A.0
B.1
C.2
D.與m有關
【答案】A
【解析】解:(方法一)∵a,b是方程x2﹣x+ m=0(m<0)的兩根,∴a+b=1,
∴bb﹣aa=b(1﹣b)﹣a(1﹣a)=b(a+b﹣b)﹣a(a+b﹣a)=ab﹣ab=0.
(方法二)∵a,b是方程x2﹣x+ m=0(m<0)的兩根,
∴a+b=1.
∵bb﹣aa=b(1﹣b)﹣a(1﹣a)=b﹣b2﹣a+a2=(a2﹣b2)+(b﹣a)=(a+b)(a﹣b)﹣(a﹣b)=(a﹣b)(a+b﹣1),a+b=1,
∴bb﹣aa=(a﹣b)(a+b﹣1)=0.
(方法三)∵a,b是方程x2﹣x+ m=0(m<0)的兩根,
∴a2﹣a=﹣ m,b2﹣b=﹣
m,
∴bb﹣aa=b(1﹣b)﹣a(1﹣a)=﹣(b2﹣b)+(a2﹣a)= m﹣
m=0.
故選A.
(方法一)由根與系數的關系可找出a+b=1,根據新運算找出bb﹣aa=b(1﹣b)﹣a(1﹣a),將其中的1替換成a+b,即可得出結論.
(方法二)由根與系數的關系可找出a+b=1,根據新運算找出bb﹣aa=(a﹣b)(a+b﹣1),代入a+b=1即可得出結論.
(方法三)由一元二次方程的解可得出a2﹣a=﹣ m、b2﹣b=﹣
m,根據新運算找出bb﹣aa=﹣(b2﹣b)+(a2﹣a),代入后即可得出結論.
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【題目】已知方程組 的解x為非正數,y為負數.
(1)求a的取值范圍;
(2)在a的取值范圍中,當a為何整數時,不等式2ax+x>2a+1的解為x<1.
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【題目】在一個鈍角三角形中,如果一個角是另一個角的3倍,這樣的三角形我們稱之為“智慧三角形”.如,三個內角分別為120°,40°,20°的三角形是“智慧三角形”.如圖,∠MON=60°,在射線OM上找一點A,過點A作AB⊥OM交ON于點B,以A為端點作射線AD,交射線OB于點C.
(1)∠ABO的度數為_____°,△AOB_____(填“是”或“不是”) “智慧三角形”;
(2)若∠OAC=20°,求證:△AOC為“智慧三角形”;
(3)當△ABC為“智慧三角形”時,求∠OAC的度數.
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【題目】一駕2.5米長的梯子靠在一座建筑物上,梯子的底部離建筑物0.7米,如果梯子的頂部滑下0.4米,梯子的底部向外滑出多遠(其中梯子從AB位置滑到CD位置)?
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【題目】某中學數學活動小組為了調查居民的用水情況,從某社區的1500戶家庭中隨機抽取了30戶家庭的月用水量,結果如下表所示:
月用水量(噸) | 3 | 4 | 5 | 7 | 8 | 9 | 10 |
戶 數 | 4 | 3 | 5 | 11 | 4 | 2 | 1 |
(1)求這30戶家庭月用水量的平均數,眾數和中位數;
(2)根據上述數據,試估計該社區的月用水量;
(3)由于我國水資源缺乏,許多城市常利用分段計費的辦法引導人們節約用水,即規定每個家庭的月基本用水量為m(噸),家庭月用水量不超過m(噸)的部分按原價收費,超過m噸部分加倍收費,你認為上述問題中的平均數、眾數、中位數中哪一個量作為月基本用水量比較合理?簡述理由。
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【題目】如圖,是某單位職工年齡的頻數分布直方圖,根據圖形提供的信息,回答下列問題:
(1)該單位職工的平均年齡為多少?
(2)該單位職工在哪個年齡段的人數最多?
(3)該單位職工年齡的中位數在哪個年齡段內?
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【題目】已知正方形ABCD的邊長為1,點P為正方形內一動點,若點M在AB上,且滿足△PBC∽△PAM,延長BP交AD于點N,連結CM.
(1)如圖一,若點M在線段AB上,求證:AP⊥BN;AM=AN;
(2)①如圖二,在點P運動過程中,滿足△PBC∽△PAM的點M在AB的延長線上時,AP⊥BN和AM=AN是否成立?(不需說明理由)
②是否存在滿足條件的點P,使得PC= ?請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D,DE⊥AD,交AB于點E,AE為⊙O的直徑
(1)判斷BC與⊙O的位置關系,并證明你的結論;
(2)求證:△ABD∽△DBE;
(3)若cosB= ,AE=4,求CD.
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