Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點坐標為（2，4），直線與軸相交于點，連結，拋物線從點沿方向平移，與直線交于點，頂點到點時停止移動．

（1）求線段所在直線的函數解析式；
（2）設拋物線頂點的橫坐標為，當為何值時，線段最短；
（3）當線段最短時，相應的拋物線上是否存在點，使△的面積與△的面積相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）當時，PB最短；（3）拋物線上存在點，
使△與△的面積相等.

解析試題分析：解：（1）設所在直線的函數解析式為，
∵（2，4），∴, ,
∴所在直線的函數解析式為. 2分
（2）∵頂點M的橫坐標為，且在線段上移動，
∴（0≤≤2）.
∴頂點的坐標為(,).
∴拋物線函數解析式為
∴當時，（0≤≤2）.
∴， 又∵0≤≤2，
∴當時，PB最短.         6分
（3）當線段最短時，此時拋物線的解析式為.
假設在拋物線上存在點，使. 設點的坐標為（，）.
①當點落在直線的下方時，過作直線//，交軸于點，
∵，，
∴，∴，∴點的坐標是（0，）.
∵點的坐標是（2，3），∴直線的函數解析式為.
∵，∴點落在直線上.
∴=.解得，即點（2，3）.
∴點與點重合.
∴此時拋物線上不存在點，使△與△的面積相等.  7分
②當點落在直線的上方時，
作點關于點的對稱稱點，過作直線//，交軸于點，
∵，∴，
∴、E、D的坐標分別是（0，1），（2，5），
∴直線函數解析式為.
∵，∴點落在直線上.
∴=.
解得：，.
代入