Question

如圖，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和ADE擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠ADE=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△ADE繞點A旋轉，AE、AD與邊BC的交點分別為F、G (點F不與點C重合，點G不與點B重合)，設BF=a，CG=b．

（1）請在圖（1）中找出兩對相似但不全等的三角形，并選取其中一對進行證明．

（2）求b與a的函數關系式，直接寫出自變量a的取值范圍．

（3）以△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系（如圖2）．若BG=CF，求出點G的坐標，猜想線段BG、FG和CF之間的關系，并通過計算加以驗證．

  

 

Answer 1

解：（1）△ACG∽△FAG，△FAG∽△FBA．…………2分

(寫△ACG∽△FBA，有可能全等，酌情給分)

∵∠GAF=∠C=45°

∠AGF=∠AGC

∴△ACG∽△FAG．……………4分

類似證明△FAG∽△FBA

（2）∵∠CAG=∠CAF+45°，∠BFA=∠CAF+45°，

∴∠CAG =∠BFA ．

∵∠B =∠C=45°

∴△ACG∽△FBA，

∴．…………………2分

由題意可得CA=BA=．

∴．∴．                      …………………4分

自變量a的取值范圍為．           …………………5分

 

（3）由BG=CF可得BF=CG，即．

∵，

∴．…………………1分

∵OB=OC=BC=1，

∴OF=OG=－1．∴G（，0）．…………………2分

線段BG、FG和CF之間的關系為；……3分

∵BG=OB－OG=，

FG=BC－2BG=．

∵，

．

∴．           ………………………5分