Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=8，點E是AB的中點，以AE為邊作等邊△ADE（點D與點C分別在AB異側），連接CD，則△ACD的面積是_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接CE，根據圓的定義，證明D、A、C、B四點共圓，可得∠ADC=∠ABC=45°，作AF⊥CD于F，構建等腰直角三角形ADF和含30°角的直角三角形AFC，可以求得AF、DF、CF的長，利用三角形面積公式可得結論．

解：連接CE，
∵∠ACB=90°，E為AB的中點，
∴CE=AE=BE，
∵△ADE是等邊三角形，
∴DE=AE，
∴DE=AE=CE=BE，
∴D、A、C、B在以點E為圓心的圓上，作⊙E，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
過A作AF⊥CD于F，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∵AD=AE=AB=4，
∴AF=DF=，

∵∠CAF=∠DAB+∠BAC-∠DAF=60°+45°-45°=60°，
∴∠ACF=30°，
∴AC=2AF，

由勾股定理得：CF=，

∴S△ADC=，

故答案為：4+4．