Question

【題目】如圖，是⊙的直徑，弦 于點，過點的切線交的延長線于點，連接DF．

（1）求證：DF是⊙的切線；

（2）連接，若=30°，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】(1) 連接OD,由垂徑定理證OF為CD的垂直平分線，得CF=DF，∠CDF=∠DCF，由∠CDO=∠OCD，再證∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°，可得OD⊥DF，結論成立.

(2) 由∠OCF=90°, ∠BCF=30°，得∠OCB=60°，再證ΔOCB為等邊三角形，得∠COB=60°，可得∠CFO=30°，所以FO=2OC=2OB，FB=OB= OC =2，在直角三角形OCE中，解直角三角形可得CE,再推出CD=2CE.

（1）證明：連接OD

∵CF是⊙O的切線

∴∠OCF=90°

∴∠OCD+∠DCF=90°

∵直徑AB⊥弦CD

∴CE=ED，即OF為CD的垂直平分線

∴CF=DF

∴∠CDF=∠DCF

∵OC=OD，

∴∠CDO=∠OCD

∴∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°

∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切線

（2）解：連接OD

∵∠OCF=90°, ∠BCF=30°

∴∠OCB=60°

∵OC=OB

∴ΔOCB為等邊三角形，

∴∠COB=60°

∴∠CFO=30°

∴FO=2OC=2OB

∴FB=OB= OC =2

在直角三角形OCE中，∠CEO=90°∠COE=60°

∴CF

∴CD=2 CF