Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-

4

3

x+12與x軸交于點A，與y軸交于點B，動點P從點A出發沿折線AO-OB-BA運動，點P在AO、OB、BA上運動的速度分別為每秒3個單位長度、4個單位長度、5個單位長度，直線l從與x軸重合的位置出發，以每秒

4

3

個單位長度的速度沿y軸向上平移，移動過程中直線l分別與直線OB、AB交于點E、F，若點P與直線l同時出發，當點P沿折線AO-OB-BA運動一周回到點A時，直線l和點P同時停止運動，設運動時間為t秒，請解答下列問題：
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）當t為何值時，點P與點E重合？
（3）當t為何值時，點P與點F重合？
（4）當點P在AO-OB上，且點P、E、F不在同一直線上時，設△PEF的面積為S，請直接寫出S關于t的函數解析式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用一次函數與坐標軸的交點坐標的特點求出即可；
（2）點P與點E重合，首先算出點P在OA上運動的時間，以及點E運動的距離，再進一步可以看作是追擊問題解答；
（3）點P與點F重合，應是點P運動到BA邊上時，首先計算出點P在OA、OB邊上運動的時間和，以及點E運動的距離；進一步利用相似三角形算出點F所在的位置，利用相遇問題解決；
（4）分情況探討：
①當點P在OA上運動，即0＜t≤3；②當點P在OB上運動，即3＜t≤6；利用三角形的面積求出即可．

解答：解：（1）令x=0，得y=12，令y=0，得x=9
∴與y軸交點B的坐標為（0，12），與x軸交點A的坐標為（9，0）；
（2）點P在OA上運動的時間為9÷3=3秒，

點E在OB上移動的距離為3×

4

3

=4，
點P和點E重合的時間為：3+4÷（4-

4

3

）=

9

2

秒，
當t=

9

2

秒，點P與點E重合；

（3）點P在OA、OB上運動的時間和為9÷3+12÷4=6秒，
點E在OB上移動的距離為6×

4

3

=8，
AB=

122+92

=15
∵EF∥OA
∴△BEF∽△BOA
∴

BE

BO

=

BF

BA

即

12-8

12

=

BF

15

解得BF=5，
則點F運動的速度為（15-5）÷6=

5

2

個單位/秒，
∴點P與點F重合的時間為5÷（5+

5

2

）+6=

20

3

秒；

（4）∵EF∥OA
∴△BEF∽△BOA

EF

OA

=

BE

BO

即

EF

9

=

12- 4 3 t

12

EF=9-t
①當點P在OA上運動，即0＜t≤3；
S=

1

2

×（9-t）×

4

3

t=-

2

3

t²+6t；
②當點P在OB上運動，即3＜t≤6且t≠

9

2

；
S=

1

2

×（9-t）×4（t-3）=-2t²+24t-54．

點評：本題考查了一次函數綜合題．解題的關鍵要注意數形結合思想的應用，還要注意答案的不唯一性．