Question

【題目】如圖，直線AP的解析式y＝kx+4k分別交于x軸、y軸于A、C兩點，與反比例函數y＝（x＞0）交于點P．且PB⊥x軸于B點，S△PAB＝9．

（1）求一次函數解析式；

（2）點Q是x軸上的一動點，當QC+QP的值最小時，求Q點坐標；

（3）設點R與點P同在反比例函數的圖象上，且點R在直線PB的右側，作RT⊥x軸于T點，交AC于點M，是否存在點R，使得△BTM與△AOC全等？若存在，求點R的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線AP解析式為y＝x+2；（2）Q（0.8，0）；（3）R坐標為（4，1.5）．

【解析】

（1）由直線AP解析式得到直線恒過A（-4，0），得到OA=4，設OB=a，PB=b，由P在反比例圖象上得到ab=6，再由OA+OB表示出AB，根據AB與PB乘積的一半表示出三角形PAB面積，根據已知三角形PAB的面積求出a與b的值，確定出P坐標，將P代入直線AP解析式求出k的值即可；

（2）找出C關于x軸的對稱點C′，連接PC′與x軸交于點Q，確定出直線PC′解析式，求出與x軸交點即可確定出Q坐標；

（3）由直線AP解析式求出OA與OC的長，若△BTM與△AOC全等，則有BT=OC，MT=OA，確定出M坐標，代入直線AP檢驗即可得到結果．

（1）直線AP解析式y＝kx+4k＝k（x+4），

得到A（﹣4，0），即OA＝4，

設OB＝a，PB＝b，即P（a，b），

代入反比例解析式得：ab＝6，

∵S△PAB＝ABPB＝9，

∴（a+4）b＝9，即ab+4b＝6+4b＝18，

解得：a＝2，b＝3，即P（2，3），

將P（2，3）代入直線y＝kx+4k中得：3＝2k+4k，

解得：k＝，

則直線AP解析式為y＝x+2；

（2）對于直線y＝x+2，令x＝0，得到y＝2，即C（0，2），OC＝2，

找出C關于x軸的對稱點C′（0，﹣2），連接PC′，交x軸與Q點，此時QC+QP最短，

設直線C′P解析式為y＝mx+n，

將P（2，3）與C′（0，﹣2）代入得：，

解得：m＝2.5，n＝﹣2，

∴直線C′P解析式為y＝2.5x﹣2，

令y＝0，得到x＝0.8，即Q（0.8，0）；

（3）若△BTM≌△COA，則有BT＝OC＝2，MT＝OA＝4，

∴OT＝OB+BT＝2+2＝4，即M（4，4），

將x＝4代入直線OP解析式得：y＝×4+2＝2+2＝4，即M在直線AP上，

將x＝4代入反比例解析式得：y＝＝1.5，

此時R坐標為（4，1.5）．