Question

如圖，經過原點的拋物線與軸的另一個交點為A.過點作直線軸于點M，交拋物線于點B.記點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C（B、C不重合）.連結CB,CP。
（1）當時，求點A的坐標及BC的長；
（2）當時，連結CA，問為何值時？
（3）過點P作且，問是否存在，使得點E落在坐標軸上？若存在，求出所有滿足要求的的值，并定出相對應的點E坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）當m=3時，y=－x²+6x令y=0，得－x²+6x=0，
∴
∴A(6,0)
當x=1時，y=5，
∴B（1,5）
又∵拋物線的對稱軸為直線x=3，
又∵B、C關于對稱軸對稱，
∴BC=4
（2）過點C作CH⊥x軸于點H（如圖①）由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB
又∵∠AHC=∠PBC=90°，
∴△ACH∽△PCB

∵拋物線的對稱軸為直線x=m，其中，
又∵B，C關于對稱軸對稱，
∴BC=2(m－1)
∵B(1,2 m－1),P(1,m),
∴BP= m－1，
又∵A(2m,0),C(2m－1,2m－1),
∴H(2m－1,0)
∴AH=1,CH=2m－1
∴
（3）∵B，C不重合，∴m≠1，
(Ⅰ)當m＞1時，BC=2(m－1)PM=m, BP= m－1.
(ⅰ)若點E在x軸上（如圖②），
∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP =90°
∴∠MEP=∠BPC
又∵∠PME=∠CBP=90°，PC=EP
∴△BPC≌△MEP
∴BC=PM，
∴2(m－1)=m
∴m=2
此時點E的坐標是（2,0）
(ⅱ)若點E在y軸上（如圖③）過點P作PN⊥y軸于點N，易證△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴ m－1=1，
∴m=2，
此時點E的坐標是（0,4）
(Ⅱ)當0＜m＜1時， BC=2(m－1)，PM=m    BP= m－1.
(ⅰ) 若點E在x軸上（如圖④），易證△PBC≌△MEP，
∴BC=PM，2(m－1)=m
∴m=
∴此時點E的坐標是（，0）
(ⅱ)若點E在y軸上（如圖⑤）過點P作PN⊥y軸于點N，
易證△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴ 1－m =1，∴m=0，（∵m>0,舍去）
綜上所述，當m=2時，點E的坐標是（2,0）或（0,4）；          
當m時m=，
點E的坐標是

                       ①                              ②                                              ③

                      ④                                   ⑤