Question

已知拋物線y=x²+bx+c，經過點A（0，5）和點B（3，2）
（1）求拋物線的解析式：
（2）現有一半徑為l，圓心P在拋物線上運動的動圓，問⊙P在運動過程中，是否存在⊙P與坐標軸相切的情況？若存在，請求出圓心P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若⊙Q的半徑為r，點Q在拋物線上，且⊙Q與兩坐軸都相切時，求半徑r的值．

Answer 1

解：（1）由題意，得；
解得
拋物線的解析式為y=x²-4x+5

（2）當⊙P在運動過程中，存在⊙P與坐標軸相切的情況．
設點P坐標為（x₀，y₀），則
當⊙P與y軸相切時，有|x₀|=1，x₀=±1
由x₀=-1，得y₀=1-4×（-1）+5=10，
∴P₁（-1，10），
由x₀=1，得y₀=1 ²-4×1+5=2，
∴P₂（1，2）
當⊙P與x軸相切時有|y₀|=1
∵拋物線開口向上，且頂點在x軸的上方．
∴y₀=1
由y₀=1，得x₀²-4x₀+5=1，
解得x₀=2，
則P₃的坐標是（2，1）
綜上所述，符合要求的圓心P有三個，其坐標分別為：
P₁（-1，10），P₂（1，2），P₃（2，1）

（3）設點Q坐標為（x，y），則當⊙Q與兩條坐標軸都相切時，有y=±x
由y=x得x²-4x+5=x，即x²-5x+5=0，
解得x=
由y=-x，得x²-4x+5=-x．
即x²-3x+5=0，此方程無解
∴⊙O的半徑為r=．
分析：（1）利用待定系數法把已知坐標代入拋物線解析式即可
（2）設點P坐標為（x₀，y₀），當⊙P在運動過程中，存在⊙P與坐標軸相切的情況（⊙P與y軸相切；⊙P與x軸相切時）
（3）設點Q坐標為（x，y），則當⊙Q與兩條坐標軸都相切時，有y=±x代入拋物線解析式求出x的值即可．
點評：本題綜合考查的是直線與圓的知識以及二次函數的相關知識點，難度較大．