Question

已知，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，D是線段BC上一點，以AD為邊，在AD的右側作正方形ADEF．直線AE與直線BC交于點G，連接CF．

（1）如圖1，當BD＜1時，求證：△ACF≌△ABD；

（2）如圖2，當BD＞1時，請在圖中作出相應的圖形，猜測線段CF與線段BD的關系，并說明理由；

（3）連接GF，判斷當線段BD為何值時，△GFC是等腰三角形．

Answer 1

（2）作圖如右：…………………………………（4分）

猜測：CF=BD，CF⊥BD………………………（6分）

理由是：同（1）可得△ABD≌△ACF

∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=∠ACB=45°

∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD………………………（8分）

（3）連接GF

∵AE是正方形ADEF的對角線

∴∠FAE=∠DAE=45°

又AD=AF，AG=AG

∴△AFG≌△ADG

∴FG=DG………………………………………………（10分）

若Rt△CFG是等腰三角形，則CG=CF

設CF=x，得CG=CF=BD=x

①如圖3，當BD＜1時，FG=DG=2﹣2x

在Rt△CFG中，根據勾股定理得

FG²=CG²+CF²

∴（2﹣2x）²=2x²

解得：x₁=2+＞1（舍去），x₂=2﹣…………（12分）

②如圖4，當BD＞1時，∵CG=BD

∴FG=DG=BC=2

在Rt△CFG中，根據勾股定理得

FG²=CG²+CF²，2²=2x²

解得：x₁=﹣（舍去），x₂=

綜上所得，當BD等于2﹣ 或 時，

△CFG是等腰三角形…