Question

如圖，二次函數y=ax²+bx-3的圖象與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側），一次函數y=mx+n的圖象經過點B和二次函數圖象上另一點A，點A的坐標（4，3），．
（1）求二次函數和一次函數的解析式；
（2）若點P在第四象限內的拋物線上，求△ABP面積S的最大值并求出此時點P的坐標；
（3）若點M在直線AB上，且與點A的距離是到x軸距離的倍，求點M的坐標．

Answer 1

解：（1）過點A（4，3）作AD⊥x軸于點D，則D（4，0），∠ADB=90°．
在Rt△ADB中，∵tan∠ABD===，
∴BD=6，B點坐標為（-2，0）．
將B（-2，0），A（4，3）代入y=ax²+bx-3，
得，
解得：，
∴二次函數的解析式為y=x²-x-3；
將B（-2，0），A（4，3）代入y=mx+n，
得，解得，
∴一次函數解析式為y=x+1；

（2）設點P的坐標為（t，t²-t-3），過點P作PH垂直于x軸交AB于H點，則H（t，t+1），
∴PH=（t+1）-（t²-t-3）=-t²+t+4，
∴S_△ABP=PH•BD=（-t²+t+4）•6=-t²+3t+12=-（t-1）²+，
∴當t=1即P點坐標為（1，-3）時，△ABP的面積S最大，此時S_△ABP=；

（3）設點M的坐標為（p，p+1），
由題意，得=×|p+1|，
化簡整理，得p²-12p+20=0，
解得p=2或10，
當p=2時，p+1=×2+1=2；
當p=10時，p+1=×10+1=6．
故所求點M的坐標為（2，2）或（10，6）．
分析：（1）過點A作AD⊥x軸于點D，則D（4，0），∠ADB=90°，在Rt△ADB中，根據正切函數的定義求出BD=6，則B點坐標為（-2，0），再將B，A兩點的坐標代入y=ax²+bx-3，運用待定系數法求出二次函數的解析式；將B，A兩點的坐標代入y=mx+n，運用待定系數法求出一次函數的解析式；
（2）根據（1）中求出的拋物線的解析式可設點P的坐標為（t，t²-t-3），過點P作PH垂直于x軸交AB于H點，則H（t，t+1），用含t的代數式表示PH的長度，再根據S_△ABP=PH•BD，求出S_△ABP=-t²+3t+12，配方后根據二次函數的性質即可求解；
（3）根據（1）中求出的直線AB的解析式可設點M的坐標為（p，p+1），由點M與點A的距離是它到x軸距離的倍，列出關于p的方程，解方程即可．
點評：本題綜合考查了二次函數的圖象與性質，待定系數法求函數（二次函數和一次函數）的解析式，三角形的面積，兩點間的距離公式，平面直角坐標系內的點到坐標軸的距離等重要知識點，難度不是很大．運用數形結合及方程思想是解題的關鍵．