Question

如圖1，Rt△ABC兩直角邊的邊長為AC＝1，BC＝2．
（1）如圖2，⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點X，與邊CB相切于點Y．請你在圖2中作出并標明⊙O的圓心O；（用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）P是這個Rt△ABC上和其內部的動點,以P為圓心的⊙P與Rt△ABC的兩條邊相切．設⊙P的面積為s，你認為能否確定s的最大值？若能，請你求出s的最大值;若不能,請你說明不能確定s的最大值的理由．

Answer 1

解：(1)共2分.（標出了圓心，沒有作圖痕跡的評1分）看見垂足為Y（X）的一 條 垂 線 (或 者∠ABC的平分線)即評1分，
(2)①當⊙P與Rt△ABC的邊 AB和BC相切時，由角平分線的性質，動點P是∠ABC的平分線BM上的點.
如圖1，在∠ABC的平分線BM上任意確定點P₁  (不為∠ABC的頂點)，

∵ OX ＝BOsin∠ABM,  P₁Z＝BP₁sin∠ABM．
當 BP₁＞BO 時 ，P₁Z＞OX,即P與B的距離越大，⊙P的面積越大．
這時，BM與AC的交點P是符合題意的、BP長度最大的點. 
（3分.此處沒有證明和結論不影響后續評分）
如圖2，∵∠BPA＞90°，過點P作PE⊥AB，垂足為E，則E在邊AB上.

∴以P為圓心、PC為半徑作圓，則⊙P與邊CB相切于C，與邊AB相切于E，
即這時的⊙P是符合題意的圓.（4分.此處沒有證明和結論不影響后續評分）
這時⊙P的面積就是S的最大值.
∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴ Rt△ABC∽Rt△APE，  （5分）
∴.
∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝.
設PC＝x，則PA＝AC－PC＝1－x,   PC＝PE，
∴， ∴x＝ ．  （6分）
②如圖3，同理可得：當⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時，設PC＝y，則 ，

∴y= .   （7分）
③如圖4，同理可得：當⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時，

設PF＝z，則， ∴z=.    （8分）
由①，②，③可知：∵  ＞2，∴ ＋2＞＋1＞3，
∵當分子、分母都為正數時，若分子相同，則分母越小，這個分數越大，
(或者:∵x= =2-4, y= = 5,
∴y-x=>0, ∴y>x. ∵z-y=>0)
∴2， （9分，沒有過程直接得出酌情扣1分）
∴ z＞y＞x.  ∴⊙P的面積S的最大值為.    （10分）

略