Question

【題目】二次函數y=（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．
（1）求該二次函數的對稱軸方程；
（2）過動點C（0，n）作直線l⊥y軸． ①當直線l與拋物線只有一個公共點時，求n與m的函數關系；
②若拋物線與x軸有兩個交點，將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象．當n=7時，直線l與新的圖象恰好有三個公共點，求此時m的值；
（3）若對于每一個給定的x的值，它所對應的函數值都不小于1，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5=（m+2）（x﹣1）2﹣2m+3，

∴對稱軸方程為x=1

（2）解：①如圖，由題意知直線l的解析式為y=n，

∵直線l與拋物線只有一個公共點，

∴n=﹣2m+3．

②依題可知：當﹣2m+3=﹣7時，直線l與新的圖象恰好有三個公共點．

∴m=5

（3）解：拋物線y=（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5的頂點坐標是（1，﹣2m+3）．

依題可得 解得

∴m的取值范圍是﹣2＜m≤1

【解析】（1）將拋物線解析式配方成頂點式即可得；（2）①畫出函數的大致圖象，由圖象知直線l經過頂點式時，直線l與拋物線只有一個交點，據此可得；②畫出翻折后函數圖象，由直線l與新的圖象恰好有三個公共點可得﹣2m+3=﹣7，解之可得；（3）由開口向上及函數值都不小于1可得 ，解之即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數圖象的平移的相關知識，掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減，以及對拋物線與坐標軸的交點的理解，了解一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．