Question

（1）實際問題：在一條筆直的高速公路l的同側有兩處旅游景點A、B，AB=50km，A、B到l的距離分別為10km和40km，要在高速公路旁修建一服務區P，向A、B兩景區運送游客．
現有兩種設計方案：圖①是方案一的示意圖（AP與直線l垂直，垂足為P），P到A、B的距離之和S₁=PA+PB，圖②是方案二的示意圖（點A關于直線l的對稱點是A’，直接寫出S₁、S₂的值，并比較它們的大��；
（2）幾何模型：如圖③在∠AOB的內部有一點P，且∠AOB=45°，OP=50，在射線OA、OB上各找一點M、N，是△PMN的周長最小
請你說出做法、畫出草圖：并求出周長的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理分別求得S₁、S₂的值，比較即可；
（2）作點P關于OA的對稱點P'，作點P關于OB的對稱點P''，連接P'P''，與OA交于點M，與OB交于點N，則此時△PMN的周長最小．

解答：解：（1）

圖①中過B作BC⊥l于C，垂足為C；AD⊥BC于D，垂足為D，
則BC=40，
又∵AP=10，
∴BD=BC-CD=40-10=30．
在△ABD中，AD=

502-302

=40，
在Rt△PBC中，
∴BP=

BC2+CP2

=40

2

，
S₁=40

2

+10．
圖②中，過B作BC⊥AA′垂足為C，則A′C=50，
又∵BC=40，
∴BA'=

402+502

=10

41

，
由軸對稱知：PA=PA'，
∴S₂=BA'=10

41

，
∴S₁＞S₂．
（2）

作點P關于OA的對稱點P'，作點P關于OB的對稱點P''，連接P'P''，與OA交于點M，與OB交于點N，則此時△PMN的周長最小，
因為PM=MP'，PN=NP''，故可得△PMN的周長為線段P'P''，根據兩點之間線段最短可得此時的周長最短．
連接OP'、OP''，則可得OP'=OP''=OP=50，∠P'OP''=90°，
故可得P'P''=50

2

．

點評：此題考查了利用軸對稱確定最短路徑的知識，確定動點為何位置是關鍵，綜合考察了勾股定理的知識，難度一般．