Question

【題目】等邊邊長為，為邊上一點，，且、分別于邊、交于點、．

如圖，當點為的三等分點，且時，判斷的形狀；

如圖，若點在邊上運動，且保持，設，四邊形面積的，求與的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

如圖，若點在邊上運動，且繞點旋轉，當時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）或．

【解析】

（1）根據三等分點的定義，求得BP與PC的長，進而根據直角三角形中30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得BE的長，即可作出判斷；
（2）分別表示出△ABC、△BPE、△PCF的面積，根據四邊形AEPF的面積=△ABC的面積-△BPE的面積-△PCF的面積，即可求解；
（3）首先證明△BPE∽△CFP，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求得BP的長，進而即可求得PE的長．

∵點為的三等分點，

∴，，

∵，

∴在直角中，，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴是等邊三角形；

的面積是：；

，則．，，．

則的面積是：，

的面積是：．

∴四邊形面積的；

即；

∵在中，，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

設，則．

∴，

解得：或．

當時，在三角形中，，，，

則；

當時，在三角形中，，，，

則是等邊三角形，∴．

故或．