Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，矩形的頂點、分別在軸和軸正半軸上，點的坐標是，點是邊上一動點（不與點、點重合），連結、，過點作射線交的延長線于點，交邊于點，且，令，.

（1）當為何值時，？

（2）求與的函數關系式，并寫出的取值范圍；

（3）在點的運動過程中，是否存在，使的面積與的面積之和等于的面積.若存在，請求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，；（2）（）；（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）由題意可知，當OP⊥AP時，∽，∴，即，于是解得x值；（2）根據已知條件利用兩角對應相等兩個三角形相似，證明三角形OCM和三角形PCO相似,得出對應邊成比例即可得出結論；（3）假設存在x符合題意. 過作于點，交于點，由與面積之和等于的面積，∴.然后求出ED，EF的長，再根據三角形相似：∽，求出MP的長，進而由上題的關系式求出符合條件的x.

試題解析：（1）證明三角形OPC和三角形PAB相似是解決問題的關鍵，由題意知，，BC∥OA,∵，∴.∴.∴∽,∴，即，解得（不合題意,舍去）. ∴當時，；(2)由題意可知，∥，∴.∵（已知），∴. ∵，∴∽，∴對應邊成比例：，即. ∴，因為點是邊上一動點（不與點、點重合），且滿足∽，所以的取值范圍是.（3）假設存在符合題意. 如圖所示，過作于點，交于點， 則.∵與面積之和等于的面積，∴. ∴. ∵∥，∴∽. ∴. 即，解得. 因為由（2）得，所以. 解得（不合題意舍去）. ∴在點的運動過程中存在x,，使與面積之和等于的面積，此時.