Question

【題目】在四邊形ABCD中，AB=CD，E，F分別為邊BC與AD的中點，AE∥CD，延長BA，CD，分別與EF的延長線交于點G，H，連接AH，ED.

（1）求證：AH∥ED；

（2）求證：AE=AG.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析.

【解析】

（1）證△AEF≌△DHF. 得AE=DH.由AE∥DH，得四邊形AEDH是平行四邊形.（2）連接AC，設AC的中點為O，連接OE，OF.根據三角形中位線性質得OF∥CD，OF=CD，OE∥AB，OE=AB，OE=OF. 得∠OFE=∠OEF，∠DHE =∠AGE. 由AE∥DH，得∠DHE =∠AEG. 所以∠AGE =∠AEG.

（1）∵AE∥CD，

∴∠AEF=∠DHF，∠FAE=∠FDH.

∵AF=FD，

∴△AEF≌△DHF.

∴AE=DH.

∵AE∥DH，

∴四邊形AEDH是平行四邊形.

∴AH∥ED.

（2）連接AC，設AC的中點為O，連接OE，OF.

∵E，F分別為邊BC與AD的中點，

∴OF∥CD，OF=CD，OE∥AB，OE=AB.

∴∠OFE=∠DHE，∠OEF=∠AGE.

∵AB=CD，

∴OE=OF.

∴∠OFE=∠OEF.

∴∠DHE =∠AGE.

∵AE∥DH，

∴∠DHE =∠AEG.

∴∠AGE =∠AEG.

∴AE=AG.