Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x²+x+m²-3m+2與x軸的交點分別為原點O和點A，點B（2，n）在這條拋物線上．
（1）求點B的坐標；
（2）點P在線段OA上，從O點出發向點A運動，過P點作x軸的垂線，與直線OB交于點E．延長PE到點D．使得ED=PE．以PD為斜邊，在PD右側作等腰直角三角形PCD（當P點運動時，C點、D點也隨之運動）j當等腰直角三角形PCD的頂點C落在此拋物線上時，求OP的長；k若P點從O點出發向A點作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段OA上另一點Q從A點出發向O點作勻速運動，速度為每秒2個單位（當Q點到達O點時停止運動，P點也同時停止運動）．過Q點作x軸的垂線，與直線AB交于點F．延長QF到點M，使得FM=QF，以QM為斜邊，在QM的左側作等腰直角三角形QMN（當Q點運動時，M點，N點也隨之運動）．若P點運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=-x²+x+m²-3m+2與x軸的交點分別為原點O，令x=0，y=0，解得m的值，點B（2，n）在這條拋物線上，把該點代入拋物線方程，解得n．
（2）設直線OB的解析式為y=k₁x，求得直線OB的解析式為y=2x，由A點是拋物線與x軸的一個交點，可求得A點的坐標，設P點的坐標為（a，0），根據題意作等腰直角三角形PCD，如圖1．可求得點C的坐標，進而求出OP的值，依題意作等腰直角三角形QMN，設直線AB的解析式為y=k₂x+b，求出直線AB的解析式，當P點運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，有以下三種情況，解出各種情況下的時間t．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+x+m²-3m+2經過原點，
∴m²-3m+2=0，
解得m₁=1，m₂=2，
由題意知m≠1，
∴m=2，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x，
∵點B（2，n）在拋物線y=-x²+x上，
∴n=4，
∴B點的坐標為（2，4）．

（2）設直線OB的解析式為y=k₁x，
求得直線OB的解析式為y=2x，
∵A點是拋物線與x軸的一個交點，可求得A點的坐標為（10，0），
設P點的坐標為（a，0），
則E點的坐標為（a，2a），
根據題意作等腰直角三角形PCD，
如圖1，可求得點C的坐標為（3a，2a），
由C點在拋物線上，
得：2a=-´（3a）²+´3a，
即a²-a=0，
解得a₁=，a₂=0（舍去），
∴OP=．
依題意作等腰直角三角形QMN，設直線AB的解析式為y=k₂x+b，
由點A（10，0），點B（2，4），求得直線AB的解析式為y=-x+5，
當P點運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，有以下三種情況：
第一種情況：CD與NQ在同一條直線上．
如圖2所示．可證△DPQ為等腰直角三角形．此時OP、DP、AQ的長可依次表示為t、4t、2t個單位．
∴PQ=DP=4t，
∴t+4t+2t=10，
∴t=．
第二種情況：PC與MN在同一條直線上．如圖3所示．可證△PQM為等腰直角三
角形．此時OP、AQ的長可依次表示為t、2t個單位．
∴OQ=10-2t，
∵F點在直線AB上，
∴FQ=t，
∴MQ=2t，
∴PQ=MQ=CQ=2t，
∴t+2t+2t=10，
∴t=2．
第三種情況：點P、Q重合時，PD、QM在同一條直線上，如圖4所示．此時OP、
AQ的長可依次表示為t、2t個單位．
∴t+2t=10，
∴t=．
綜上，符合題意的t值分別為，2，
點評：本題是二次函數的綜合題，要會求拋物線的解析式，討論分類情況，此題比較繁瑣，做題多加用心．