Question

如圖所示，過點F(0，1)的直線y= kx+b與拋物線 y=交于M(x_l, y₁)和 N(x₂,y₂)兩點(其中 x_l<0，x₂>0).     
(1)求b的值.    
(2)求x₁. x₂ 的值.    
(3)分別過M、N作直線l：y= -1 的垂線，委足分別是M₁、N₁, 判斷△M₁FN₁ 的形狀，并證明你的結論.    
(4)對于過點F₁ 的任意直線，是否存在一條定直線m，使m與以 MN為直徑的圓相切.如果有，請寫出這條直線 m的解析式；如果沒有，請說明理由.

Answer 1

解：(1)b=1.  
(2 )
解方程組消元得依據 x_l x₂ =-4.
    
(3)△M₁ FN₁ 是直角三角形理由如：    
由題知 M₁ 的橫坐標為x₁，N₁的橫坐標為x₂
設M₁N₁ 交y軸于F₁,
則F₁M₁·F₁N₁ =-x_l·x₂= 4，而FF₁ = 2，
所以 F₁M₁·F_lN_l=F_l F₂，
另有∠M₁F₁F = ∠FF₁N₁= 90°，
易證Rt△M₁FF₁∽Rt△FN₁F₁
得M₁FF₁= FN₁F₁
故∠M₁FN₁= ∠M₁FF₁+∠F₁FN₁=∠PN₁F₁ +∠F₁FN₁ =90°.
所以△M₁FN₁是直角三角形.   
 (4)存在，該直線為y= -1，理由如下：    
直線y= -1 即為直線M_IN, ·    
如圖，設N點橫坐標為m·

得NN₁=NF同理MM₁ =MF.
那么MN= MM₁+NN₁,
作梯形MM₁N₁N 的中位線PQ
由中位線性質知.
即圓心到直線 y= -1 的距離等于圓的半徑.
所以 y=-1總與該圓相切.