Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，
（1）若P是BC邊上的中點，連結AP，求證：BP•CP=AB²-AP²；
（2）若P是BC邊上任意一點，上面的結論還成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；
（3）若P是BC邊延長線上一點，線段AB、AP、BP、CP之間有什么樣的關系？請證明你的結論？

Answer 1

分析：（1）根據AB²=AP²+BP²，移項后，結合BP=CP，可得出結論；
（2）過A作AM⊥BC于M，AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²，利用平方差公式，結合圖形，即可得出結論；
（3）過A作AM⊥BC于M，AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²，利用平方差公式，結合圖形，即可得出結論；

解答：解：（1）在RT△ABP中，AB²=AP²+BP²，AB²-AP²=BP²=BP•CP；

（2）如圖所示：

過A作AM⊥BC于M，AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²，
則AB²-AP²=BM²-MP²=（BM+MP）（BM-MP）=CP（CM-MP）=BP•CP；

（3）如圖所示：

過A作AM⊥BC于M，AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²
AP²-AB²=MP²-BM²=（MP+BM）（MP-BM）=BP（MP-CM）=BP•CP，
∴AP²-AB²=BP•CP．

點評：本題考查了勾股定理的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握勾股定理及平方差公式的形式．