Question

如圖，在△中，，，點是△內一點，且．

（1）求證：△∽△；
（2）試求的值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）2.

試題分析：（1）應用△ABC中角的關系求出∠PAC=∠PBA和∠APB=∠APC即可證得；（2）由等腰直角三角形，相似三角形的性質和銳角三角函數定義即可求得.
試題解析：
（1）∵在△ABC中，∠ACB=90º,AC=BC
∴∠BAC=45º，即∠PAC+∠PAB=45º，
又在△APB中，∠APB=135º，
∴∠PBA+∠PAB=45º，
∴∠PAC=∠PBA，
又∠APB=∠APC，
∴△CPA∽△APB.
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴,
又∵△CPA∽△APB，
∴，
令CP=k，則PA=k，PB=2k，
又在△BCP中，∠BPC=360º-∠APC-∠BPC=90º，
∴