Question

【問題】如圖，在正方形ABCD內有一點P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度數．
分析根據已知條件比較分散的特點，我們可以通過旋轉變換將分散的已知條件集中在一起，于是將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到了△BP′A（如圖），然后連結PP′．
解決問題請你通過計算求出圖17-2中∠BPC的度數；
【類比研究】如圖，若在正六邊形ABCDEF內有一點P，且PA=，PB=4，PC=2.
（1）∠BPC的度數為       ；（2）直接寫出正六邊形ABCDEF的邊長為         ．

Answer 1

【問題】90°；【類比研究】（1）120°；（2）

試題分析：【問題】根據旋轉的性質得到∠P′BP=90°，BP′=BP=，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，則△BPP′為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得PP′=PB=2，∠BP′P=45°，利用勾股定理的逆定理可得到△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，則∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°；
【類比研究】把△BPC繞點B逆時針旋轉120°，得到了△BP′A，根據旋轉的性質得到∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，則∠BP′P=∠BPP′=30°，得到P′H=PH，利用含30°的直角三角形三邊的關系得到BH=BP′=2，P′H= BH=2，得到P′P=2P′H=4，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，于是有∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°；過A作AG⊥BP′于G點，利用含30°的直角三角形三邊的關系得到GP′=AP′=1，AG=GP′=，然后在Rt△AGB中利用勾股定理即可計算出AB長．
【問題】得到如圖所示的圖形，

根據旋轉的性質可得PB="P′B," PC=P′A
又因為BC="AB," ∴△PBC≌△P′BA，
∴∠PBC="∠P′BA" ，∠BPC="∠BP′A" , PB= P′B=，
∴∠P′BP=90°，所以△P′BP為等腰直角三角形，
則有P′P=2，∠BP′P=45°．                          
又因為PC=P′A=1，P′P =2，PA=，
滿足P′A²+ P′P²= PA²，由勾股定理的逆定理可知∠AP′P=90°，  
因此∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°．                 
【類比研究】（1）如圖

∵六邊形ABCDEF為正六邊形，
∴∠ABC=120°，
把△BPC繞點B逆時針旋轉120°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，
∴∠BP′P=∠BPP′=30°，
過B作BH⊥PP′于H，
∵BP′=BP，
∴P′H=PH，
在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′=4，
∴BH=BP′=2，P′H=BH=2，
∴P′P=2P′H=4，
在△APP′中，AP=2，PP′=4，AP′=2，
∵（2）²=（4）²+2²，
∴AP²=PP′²+AP′²，
∴△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，
∴∠BP′A=30°+90°=120°，
∴∠BPC=120°，
（2）過A作AG⊥BP′于G點，
∴∠AP′G=60°，
在Rt△AGP′中，AP′=2，∠GAP′=30°，
∴GP′=AP′=1，AG=GP′=，
在Rt△AGB中，GB=GP′+P′B=1+4=5，

即正六邊形ABCDEF的邊長為.
點評：解題的關鍵是熟練掌握旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．