Question

如圖，已知CE是Rt△ABC斜邊AB上的高，在EC的延長線上任取一點P，連接AP，BG⊥AP垂足為G，交CE于D，
求證：CE²=PE•DE．

Answer 1

分析：首先證Rt△ACE∽Rt△CBE，得出CE²=AE•BE（即射影定理）；再通過證△AEP∽△BED，得出PE•DE=AE•BE，聯立上述兩式即可得出本題要證的結論．

解答：證明：
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCE，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE；（1分）
∴

CE

BE

=

AE

CE

；（1分）
∴CE²=AE•BE；（1分）
又∵BG⊥AP，CE⊥AB，
∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°，（1分）
∵∠1=∠2，
∴∠P=∠3（1分）
∴△AEP∽△DEB （1分）
∴

PE

BE

=

AE

DE

（1分）
∴PE•DE=AE•BE（1分）
∴CE²=PE•DE．（1分）

點評：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質．